线段和差证明——截长补短法-课件

线段和差证明——截短补长法EDCBA如图,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,DE过点A,BD⊥DE,CE⊥DE,求证:DE=BD+CE怎样证明DE=BD+CE？线段相等回顾：如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC。求证:AB=AC+CD。例题（1）怎样证明AB=AC+CD（2）需要添加辅助线吗？怎样添？全等三角形中的截长补短法截长法在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。补短法通过延长短边或旋转等方式使两短边拼合到一起。例题如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC。求证:AB=AC+CD。ABCDE12证明:在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。∵AD平分∠BAC（已知）∴∠1=∠2（角平分线意义）在△AED和△ACD中∵AE=AC（所作）∠1=∠2（已证）AD=AD（公共边）∴△AED≌△ACD（S.A.S）3∵∠C=2∠B（已知）∴∠B+∠4=2∠B（等量代换）∴∠B=∠4（等式性质）4∴∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等)∵∠3=∠B+∠4（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和））∴∠C=∠B+∠4（等量代换）∴EB=ED（等角对等边）∴EB=CD（等量代换）∴AB=AE+EB=AC+CD（等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）例题如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC。求证:AB=AC+CD。ABCDF12证明:延长AC到F，使CF=CD，连结DF。∵CD=CF（所作）∴∠F=∠3（等角对等边）∴AB=AF=AC+CF=AC+CD（等量代换）3在△ABD和△AFD中∵AB=AF（已知）∠1=∠2（已证）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△AFD（S.A.S）∴AB＝AF（全等三角形的对应边相等）∵∠ACB=∠3+∠F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∴∠ACB=2∠F（等量代换）∵∠C=2∠B（已知）∴∠B=∠F（等式性质）∵AD平分∠BAC（已知）∴∠1=∠2（角平分线意义）变式1：如图，△ABC中，∠C=60°，AD平分∠BAC，AB=AC+CD.求∠B变式2：如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝40°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，且AD与CE相交于点O.求证：AE＋CE＝AC＋CD.变式3：如图,在三角形ABC中AD平分∠BAC，CD⊥AC,AD=BD,说明AB=2AC的理由小结截长补短法线段和差倍的问题：线段相等三角形角平分线截长补短构造全等三角形构造等腰三角形已知:如图AC//BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E.求证:AB=AC+BDBD变式一：已知:如图AC//BD，AE平分∠CAB，E是CD中点。求证:AB=AC+BDBD变式二：已知:如图AC//BD，AE平分∠CAB，∠A=900，E是CD中点。请问线段AB与AC、BD有什么数量关系？BD1、要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法；2、要证明两条线段也可以寻找等腰三角形。3、已知线段中点，可以延长线段构造全等三角形。如图，在△ABC、△ADC中，AD为BC边上的中线,AB为EC边上的中线,且∠ABC=∠ACB。求证：CD=2CEDABCE