西南科技大学-工程硕士高等工程数学习题集

工程硕士高等工程数学习题集一、在三维空间3P中，求6,0,4在基11,1,1,21,1,1,31,1,1下的坐标。二、在三维空间3P中，求3,7,1在基11,3,5，26,3,2，33,1,0下的坐标。三、设三维空间3P中有两组基1231,1,1,1,1,1,1,1,1和13,1,0,231,3,5,6,3,2,求从321,,到321,,的过渡矩阵。四、设321,,eee为三维空间3P的一组标准正交基，若)22(31)22(31)22(31321332123211eeeeeeeee，证明321,,也为三维空间3P的一组标准正交基。五、设123,,为三维空间3R上的一组标准正交基，试求3R上的正交变换T使得11232123221333212333TT。六、已知三维空间3R上的线性变换T在基11,1,1，21,0,1，30,1,1下的矩阵为101110121B，求此线性变换T在基11,0,0，20,1,0，30,0,1下的矩阵A。七、在4R中，有两组基：（1）11,0,0,0，20,1,0,0，30,0,1,0，40,0,0,1。（2）12,1,1,1，20,3,1,0，35,3,2,1，46,6,1,2。试求：2（1）从第（1）组到第（2）组基的过渡矩阵；（2）向量1234(,,,)x对第（2）组基的坐标；（3）对两组基有相同坐标的非零向量。八、在三维空间3R中，有线性变换T满足12312231,,2,,Txxxxxxxx求此线性变换T在基11,0,0，20,1,0，30,0,1下的矩阵。九、设5123451234(,,,,)0VxxxxxxRxxxx512345235(,,,,)30WxxxxxxRxxx求子空间WV的一组标准正交基。十、设5123451234(,,,,)0VxxxxxxRxxxx5123451234(,,,,)0WxxxxxxRxxxx求子空间WV的一组基，并将其规范正交化。十一、求齐次线性方程组1234123200xxxxxxx的解空间的一组标准正交基。十二、证明矩阵310410482A不能对角化。十三、设460350361A，求A的相似对角阵和100A十四、设100101010A，证明：当3n时，22nnAAAE，并求100A。十五、设1125A，证明：432714149BAAAAE为可逆矩阵，并把1B表示成A的多项式。十六、设1125A，证明：432212192937BAAAAE为可逆矩阵，并把1B表示成A的多项式。3十七、设102011010A，试计算8542234AAAAAE。十八、设111111012A，试计算543232AAAAAE。十九、设332152130A，求A的最小多项式()m，并用它来计算65426856AAAAAAE。二十、求矩阵452221111A的约当标准型。二十一、求矩阵308316205A的约当标准型。二十二、求多项式矩阵22221()1A的史密斯（Smith）标准型。二十三、求多项式矩阵2200()0000(1)A的史密斯（Smith）标准型。二十四、设123,,xxx是变量t的三个未知函数，求下面定解问题11232123312123332523((0),(0),(0))(1,1,1)TTdxxxxdtdxxxxdtdxxxdtxxx4二十五、求线性微分方程组112212112432dxxxdtdxxxdtdxxxdt的通解，其中123,,xxx均为t的函数。二十六、设1125A，试求Ae。二十七、设0123A，求矩阵函数Ate。二十八、设函数75()51fxxx，求差商01[2,2,,2](8)kfk。二十九、试用平方根法求解方程组12213145xx。三十、试用Doolittle直接三角分解法求解下列方程组：12311212424410113xxx。三十一、使用Doolittle分解的追赶法求解下列方程组：12123233534146733xxxxxxx三十二、试用Doolittle分解的追赶法求解三对角方程组：123310434180352xxx三十三、试用直接三角分解法求解下列方程组：1231025010312417xxx三十四、用直接三角分解法求解方程组：123223347712457xxx三十五、已知方程组213,,141AxbAb。（1）讨论求解此方程的J迭代和G-S迭代的收敛性；（2）给出两者的收敛速度。三十六、已知方程组432,,2816AxbAb。5（1）试构造求解此方程的的J迭代和G-S迭代格式；（2）证明上述两种迭代格式均收敛，并求出它们的收敛速度三十七、已知方程组12129453107xxxx（1）分别构造求解此方程的J迭代法和G-S迭代法的迭代格式；（2）两种迭代格式是否收敛？说明理由；（3）取(0)(0,0,0),Tx分别按J迭代法和G-S迭代法来计算一步迭代值。三十八、已知方程组12129453107xxxx（1）分别构造求解此方程的J迭代法和G-S迭代法的迭代格式；（2）证明两种迭代格式均收敛；（3）计算J迭代法和G-S迭代法的收敛速度。三十九、已知方程组121222323xxxx（1）分别构造求解此方程的J迭代法和G-S迭代法的迭代格式；（2）说明两种迭代格式是否收敛。（3）计算J迭代法和G-S迭代法的收敛速度。四十、已知方程组1231231238322041133631236xxxxxxxxx，试求解下列问题：（1）构造J迭代法和G-S迭代法的迭代格式；（2）证明你构造的J迭代和G-S迭代格式均收敛。四十一、已知方程组123123123102212100.5241xxxxxxxxx，试求解下列问题：（3）构造J迭代法和G-S迭代法的迭代格式；（4）证明你构造的J迭代和G-S迭代格式均收敛。四十二、已知方程组12312312342621288xxxxxxxxx，试求解下列问题：（1）试构造求解该方程组的J迭代法和G-S迭代法的迭代格式；（2）证明你构造的J迭代和G-S迭代格式均收敛。四十三、已知()yfx在节点(0,1,2,3)ixi处的值如下表ix-1012()fx10812166试写出()fx的差商表，并求以0123,,,xxxx为节点的三次牛顿插值多项式和余项公式。四十四、证明()fx的抛物求积公式()()4()()62babaabfxdxfaffb具有的三次代数精度。四十五、已知1()fxx有数据表如下：x0.10.20.30.4()fx1053.33332.5试用()fx的三次Lagrange插值多项式计算(0.39)f的近似值，并进行误差。四十六、已知xe在1,2,3x的值由下表给出x123xe0.3678794410.1353352830.049787068试分别用线性插值与二次插值计算2.1e的近似值，并进行误差估计。四十七、已知sinx在1.5,1.6,1.7x的值由下表给出x1．51.61.7sinx0.997490.999570.99166试分别用线性插值与二次插值计算sin(1.609)的近似值，并进行误差估计。四十八、设4()fxx，求出以1,0,1,2x为插值节点的三次插值多项式3()Lx。四十九、用代数精度的定义直接验证抛物求积公式()()4()()22babaabfxdxfaffb具有三次代数精度。五十、确定下面求积公式中的待定系数，使得它的代数精度尽可能高，并指出其具有的代数精度：20()(0)()(0)()2hhfxdxffhahffh。五十一、确定下面求积公式中的待定系数，使得它的代数精度尽可能高，并指出其具有的代数精度：20120()(0)(1)(2)fxdxAfAfAf五十二、设有求积公式确定20101()(0)(1)(2)3fxdxAfAff，试确定系数01,AA，使该求积公式的代数精度尽量高，且指出其代数精度。7五十三、证明在区间,ab上具有1n个节点的()fx的插值型求积公式至少具有n次代数精度。五十四、设总体X服从区间0,上的均匀分布，即分布密度函数为1,0(;)0,xpx其它若11,,,nXXX为X的样本，求的矩估计量。五十五、设总体X服从两点分布，即1,01PXpPXp，(01)p。试使用样本11,,,nXXX给出未知参数p的矩法估计。五十六、设11,,,nXXX是X总体的样本容量为n的样本。已知总体X的分布密度为,0,0(;)0,0xexpxx，求的矩法估计量。五十七、设11,,,nXXX是X总体的样本容量为n的样本。已知总体X的分布密度为,0,0(;)0,0xexpxx，求的最大似然估计量。五十八、设总体X服从两点分布，即1,01PXpPXp，(01)p。试使用样本11,,,nXXX给出未知参数p的最大似然估计。五十九、在稳定生产的情况下，某工厂生产的灯泡的使用时间时数X服从2(,)N。现观察20个灯泡的使用时数，计算得497s。试求灯泡使用时数的方差2，标准差的置信度为0.90的置信区间；六十、设某种清漆的9种样品的干燥时间（以小时计）分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0若干燥时间总体服从正态分布2(,)N，求的置信水平为0.95的置信区间。六十一、在稳定生产的情况下，某工厂生产的灯泡的使用时间时数X服从2(,)N。现观察20个灯泡的使用时数，计算得497s。试求灯泡使用时数的方差2，标准差的置信度为0.90的置信区间；六十二、随机的取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差*11(/)sms，且炮口速度82~(,)XN，求的置信水平为0.95的置信区间。六十三、某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)ix3.253.273.243.263.24设镍含量服从正态分布，问在0.01下能否接收这批矿砂的镍含量仍为3.25。六十四、已知某厂生产的维尼纶纤度（表示粗细程度的量）服从正态分布2