等差数列专题讲义

学习改变命运，奋斗成就未来中国一流大学的大门正在向你打开1等差数列专题讲义（一）定义及公式解读高考！数列是高考中知识最系统、所用解题方法最直观，高考中最容易拿分的题目。等差数列作为最简单的一种数列，又是最基本的、体现数列特点的知识点。1、等差数列的定义（1）文字定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d来表示。（2）符号定义：如果数列{}na满足1(,2;)nnaadnNnd是常数，那么数列{}na叫做等差数列。其中，常数d叫做数列的公差。2、等差数列的通项公式等差数列的通项公式是：1(1)naand（1）在等差数列中，21aad，3212aadad，……，1(1)naand（2）根据等差数列的定义，21aad，32aad，……，1nnaad；将以上1n个式子相加，就可以得到1(1)naand。等差数列的通项公式有两个量决定：首项1a，公差d。因此，只要我们知道了等差数列的任意两项，就能列出二元一次方程组解出首项1a，公差d，进而确定通项公式。3、等差数列的前n项和（☆☆）等差数列的n项和公式为：1()2nnnaaS1(1)2nnnSnad等差数列的前n项和是一个关于n的二次函数，同样有两个参数：首项1a，公差d。怎样推导等差数列的前n项和公式？（倒序相加法）4、等差中项学习改变命运，奋斗成就未来中国一流大学的大门正在向你打开2（1）若2acb，则称b为,ac的等差中项。b为,ac的等差中项是,,abc成为等差数列的充分必要条件。（2）在一个数列中，从第二项起，每一项都是它前一项与后一项的等差中项。在等差数列{}na中，我们有112nnnaaa5、判断一个数列是否为等差数列的方法（1）1()nnaad常数（nN）（2）122()nnnaaanN（3）(,)naknbkb为常数（4）2(,)nSanbnab为常数【例1】设等差数列{}na的前n项和为nS，且122084,460SS，求28S。【例2】已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数。【例3】已知数列{}na的通项公式为2napnqn，其中，,pq为实常数（1）当,pq满足什么条件时，数列{}na是等差数列？（2）求证：对于任意的,pq，1{}nnaa是等差数列。【例4】设{}na是公差为正数的等差数列，若12315,aaa12380aaa，则111213aaa等于多少？【例5】设{}na是公差为正数的等差数列，若4681012120aaaaa，则91113aa等于多少？【例6】已知{}na是等差数列，1010a，其前10项和1070S，则其公差d等于（）A.23B.13C.13D.23【例7】等差数列{}na的前n项和为nS，若22S，410S，则6S等于（）A.12B.18C.24D.42【例8】等差数列{}na的前n项和为nS，若21a，33a，则4S等于（）A.12B.10C.8D.6学习改变命运，奋斗成就未来中国一流大学的大门正在向你打开3【例9】设nS是等差数列{}na的前n项和，若735S，则4a等于（）A.8B.7C.6D.5【例10】设{}na是等差数列，1359aaa，69a，则这个数列的前6项和等于（）A.12B.24C.36D.48【例11】已知数列的前n项的和21nSnn，求其通项na，{}na是等差数列吗？等差数列专题讲义（二）性质及技巧1.等差数列的性质若{}na是公差为d的等差数列，则有以下性质：（1）0d，{}na是递增数列；0d，{}na是递减数列；0d，{}na是常数列。（2）1(,,)1nmkaaaadmnkNnmk（3）()(,)nmaanmdnmN（4）若mnpq，则(,,,)mnpqaaaamnpqN（5）若2mnk，则2(,,)mnkaaamnkN（6）若{}na是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即1211nniniaaaaaa（7）数列{}(,)nabb为常数也是等差数列，公差为d（8）下标成等差数列且公差为m的项2,,,(,)kkmkmaaakmN组成公差为md的等差数列。（9）若{}nb也是等差数列，则{}nnab也是等差数列。（10）奇数项和偶数项分别是公差为2d的等差数列。学习改变命运，奋斗成就未来中国一流大学的大门正在向你打开4（11）123456789,,,aaaaaaaaa也是等差数列。【例12】在等差数列{}na中，已知20082008,(2008)naann，求2008na。2.等差数列的重要技巧若{}na是公差为d的等差数列，则有以下性质：1、若数列的项数为2n，则有（1）21()nnnSnaa；1,nnaa为中间的两项（2）=ndSS偶奇；+1=nnSaSa偶奇2、若数列的项数为21n，则有（1）21(21)nnSna，na为中间项（2）nSna奇，(1)nSna偶（3）=nSSa奇偶；1=SnSn偶奇3、232,,,nnnnnSSSSS是以公差为2nd的等差数列4、{}nSn是以2d为公差的等差数列【例13】设等差数列{}na的前n项的和nSm，前m项的和mSn，求它的前mn项的和m+nS。【例14】一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d。【例15】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求项数及其中间一项。【例16】一个等差数列，前n项的和为25，前2n项的和为100，求前3n项的和。【例17】等差数列{}na的前n项和为nS，若122084,460SS，求28S。