等差数列的性质教案

第7-8课时【教学题目】§6.2等差数列的性质【教学目标】1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式；3.掌握等差数列的前n项和公式；4.理解等差数列的性质.【教学内容】1.等差数列的概念；2.等差数列的通项公式；3.等差数列的前n项和公式；4.理解等差数列的性质.【教学重点】理解等差数列的性质.【教学难点】理解等差数列的性质.【教学过程】一、知识点梳理（一）等差数列的定义1nnaad；（二）等差数列的递推公式1nnaad；（三）等差数列的通项公式11naand；（四）等差数列的前n项和公式二、新授———等差数列的性质（一）等差数列的定义式：daann1（d为常数）（2n）；（二）等差数列通项公式：*11(1)()naanddnadnN，首项:1a，公差:d，末项:na推广：dmnaamn)(．从而mnaadmn；11.2nnnSnad12nnnaaS（三）等差中项1.如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2．2.等差中项数列na是等差数列+-112(2,nN)nnnaaan212nnnaaa．3.等差数列的前n项和公式1()2nnnaaS1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn．（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n时，1na是项数为2n+1的等差数列的中间项．12121121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）．（四）等差数列的判定方法1.定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．2.等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．3.数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）．4.数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）．（五）等差数列的证明方法1.定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．2.等差中项性质法：-112(2n)nnnaaanN，．（六）提醒：1.等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2．2.设项技巧：①一般可设通项1(1)naand；②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2adadaadad…（公差为d）；③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3adadadad,…（注意；公差为2d）.（七）等差数列的性质：1.当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.2.若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列.3.当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa.注：12132nnnaaaaaa.4.若na、nb为等差数列，则12nnnabab，都为等差数列.5.若{na}是等差数列，则232,,nnnnnSSSSS，…也成等差数列.6.数列{}na为等差数列,每隔k(k*N)项取出一项(23,,,,mmkmkmkaaaa)仍为等差数列.7.设数列na是等差数列，d为公差，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前n项的和.（1）当项数为偶数n2时，121135212nnnnaaSaaaana奇22246212nnnnaaSaaaana偶11nnnnnSSnananaad偶奇11nnnnSnaaSnaa偶奇（2）当项数为奇数12n时，则21(21)(1)1nSSSSnaSnanSSaSnaSn偶n+1n+1奇偶奇n+1n+1奇偶偶奇（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．8.{}nb的前n和分别为nA、nB，且()nnAfnB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.9.等差数列{}na的前n项和mSn，前m项和nSm，则前m+n项和mnSmna,,nmman则a0nm．10.求nS的最值法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN．法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和即当，，001da由001nnaa可得nS达到最大值时的n值．（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和即当，，001da由001nnaa可得nS达到最小值时的n值．或求na中正负分界项注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a和d的方程；②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．三、例题讲解例1、已知等差数列110,116,122,，（1）在区间[450,600]上，该数列有多少项？并求它们的和；（2）在区间[450,600]上，该数列有多少项能被5整除？并求它们的和.解：1106(1)6104nann，（1）由4506104600n，得5882n，又*nN,∴该数列在[450,600]上有25项,其和58821()25131002nSaa．（2）∵1106(1)nan，∴要使na能被5整除，只要1n能被5整除，即15nk，∴51nk，∴585182k，∴1216k，∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即第61,66,71,76,81项，其和61815()26502aaS．例2、若数列na成等差数列，且,()mnSnSmmn，求nmS．解：（法一）基本量法（略）；（法二）设2nSAnBn，则2212AnBnmAmBmn(1)(2)得：22()()nmAnmBmn，mn，∴()1mnAB，∴2()()()nmSnmAnmBnm．评注：法二抓住了等差数列前n项和的特征2nSAnBn．四、学生练习（一）在等差数列na中，若34567450aaaaa，求28aa（二）在等差数列na中，若299336aa，，求398aa的值.五、课堂小结（一）等差数列的定义式：daann1（d为常数）（2n）.（二）等差数列通项公式：*11(1)()naanddnadnN，首项:1a，公差:d，末项:na.推广：dmnaamn)(．从而mnaadmn；（三）等差数列的定义：1.如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2．2.等差中项数列na是等差数列+-112(2,nN)nnnaaan212nnnaaa．3.等差数列的前n项和公式1()2nnnaaS1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn．（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n时，1na是项数为2n+1的等差数列的中间项．12121121212nnnnaaSna（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）．（四）等差数列的判定方法1.定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．2.等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．3.数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）．4.数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）．（五）等差数列的证明方法1.定义法：若daann1或daann1(常数Nn)na是等差数列．2.等差中项性质法：-112(2n)nnnaaanN，．（七）等差数列的性质六、作业布置（一）等差数列na中，14739,aaa25833,aaa369=aaa则（二）等差数列na中，（一）在等差数列na中，若34567350aaaaa，求28aa七、教学反思本节课使学生理解等差数列的定义式、等差数列的通项公式、等差数列的判定方法、等差数列的判定方法、等差数列的证明方法、等差数列的性质，并逐渐学会将等差数列的相关知识综合运用，通过课堂和作业反映的情况来看，学生对等差数列相关知识的综合应用能力较弱，须进一步加强训练和指导.