机械波(二)

机械波（二）主讲刘果红五、波的衍射波在各向同性媒质中传播时，波前和波阵面的形状不变，波线也为垂直于波阵面的直线。可是当波在传播过程中遇到障碍物时或当波从一种媒质传播到另一种媒质时，波阵面的形状将发生改变，波的传播方向也将发生改变。1、惠更斯原理障碍物上的小孔成为新的波源媒质中，波动传到的各点，都可看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新的波阵面。惠更斯原理对任何波动过程（包括光波）都是适用的，无论波动经过的媒质是均匀的还是非均匀的，只要知道某一时刻的波阵面，就可用几何的方法决定次一时刻的波阵面。平面波球面波2、机械波的衍射现象例如:波阵面为直线的水面波前进时，遇到平行于波阵面的障碍物AB，AB上有一缝，宽度为d1）、当dλ，波动经过缝后，波阵面的宽度几乎与缝的宽度相等，波阵面的两端几乎没有边缘弯曲部分，仍为直线。2）当d稍大于λ，波动经缝后除与缝的宽度相等部分的波阵面仍为直线外，两端有弯曲形的波阵面，这意味着水面波能够绕过缝的边缘前进。3)当dλ时，经过缝后的波阵面是圆形的，缝越小，λ越长，则衍射现象越明显。当波遇到障碍物时，如果障碍物的线度可以与机械波的波长相比拟，波动将会绕过障碍物而改变其传播方向。这种现象叫波的衍射（或绕射）。d~λAAB衍射现象是否出现取决于障碍物线度与波长值的比例ABdABd六、波的干涉当几个波在媒质中的某点相遇时，该点的振动位移必然是各个波单独存在时在该点引起的振动位移的矢量和。这叫做波的迭加原理。它实际上是运动的迭加原理的一个特例。振幅、频率、周相等都不相同的几个波在某点迭加时，情形是很复杂的。由两个频率相同、振动方向相同、周相相同或周相差恒定的波的迭加是一种最简单、最基本、最重要的情形。当它们在空间相遇时，在空间某些点处，振动始终加强,而在另一些点处，振动始终减弱或完全抵消。这就是干涉现象。波的干涉条件：频率相同、振动方向相同、周相相同或周相差保持恒定产生干涉现象的波称为相干波。下面讨论当两个满足干涉条件的平面谐波相遇时产生的干涉情况：设S1、S2为两个相干点波源，其振动方程分别为：)cos()cos(222111tAytAy])'(cos[])cos222111uxtAyuxtAy波波（【ω无下标表示同频率位移均为y意味振动方向相同c）12(周相差pS1S2xx’P处质点的振动位移应为两波单独存在时在p点引起的振动位移之和2211rPSrPS,由于波速u只与介质有关，故两波的波速应相等。沿波线x（x’)轴传播时，两波的波动方程为：])/(cos[])/(cos[22221111urtAyurtAyppS1S2pxx’])/(cos[])/(cos[22211121urtAurtAyyypp这是两个同方向、同频率的简谐振动的叠加，其振幅和初相分别为：)2cos(21212212221rrAAAAA（6）)2cos()2cos()2sin()2sin(tan222111222111rArArArA（7）在波源一定的情况下，两波相遇点的合振动振幅A与波程差有关。12rrP点的波强正比于振幅的平方，所以（6）式可写成：cos22121IIIII(8)r1r21、对干涉情况的分析:（1）当时，即两波在P点的位相相同，此时：，满足这一条件的空间各点的合振幅最大，波的强度也最大，这种情况叫干涉相长。),3,2,1,0(,2)(21212kkrr21maxAAA（2）当时，即两波在P点的位相相反，此时：，满足这一条件的空间各点的合振幅最小，波的强度也最小。此种情况称为干涉相消。)2,1,0(,)12()(21212kkrr21minAAA（3）当不满足以上两条件时，空间各点的合振幅介于最大与最小之间。即：maxminAAA)2cos(21212212221rrAAAAA（6）2、若两相干波源为同位相波源：当两波源的位相相等，即，上述条件可简化为：21krr2)212（即波程差：，k的取值同上，干涉相长；krr12若，即波程差：，k取值同上，干涉相消。)12()212krr（2)12(12krr),3,2,1,0(,2)(21212kkrr注意：若两相干波源位相不同，必须用位相差判断干涉结果，若为同位相波源，才可以用波程差判断干涉结果。例题1：两相干波源相距为5米，其振幅相等，频率都是100HZ,位相差为π，发射波在媒质中的传播速度为400米/秒，试以连线为坐标轴，以连线中点为原点，求两波源之间因干涉而静止的各点的坐标。xo2.5mS12.5mS2解：任选一点A，其坐标为x,两波源到A点的位相差应满足干涉相消的条件：)12(4)]5.2(5.2[2kxxx例题1：两相干波源相距为5米，其振幅相等，频率都是100HZ,位相差为π，发射波在媒质中的传播速度为400米/秒，试以连线为坐标轴，以连线中点为原点，求间因干涉而静止的各点的坐标。xo2.5mS12.5mS2解：任选一点A，其坐标为x,两波源到A点的位相差应满足干涉相消的条件：)12(4)]5.2(5.2[2kxxx解得：2kxmuT42,1,0k可得：4,2,0xAkx2依题意：2,0x3、驻波驻波是一种干涉现象，反射波和入射波为两个振幅相同的相干波。它们在同一直线上，沿相反方向传播，迭加后成为驻波的。驻波的形成有什么特点呢？设有振幅相同的两相干波，沿相反方向传播，设在t=0时，两波相重合。现分别用表示两波在波线上引起的各质点偏离自己平衡位置的位移21,yyuy1xuy2xyxt=T/4波线上各点位移为0uy1xuy2xyxt=0时波线上各点的振动位移最大uy1xuy2xyxt=T/2波线上各点的振动位移最大uy1xuy2xyxt=T时波线上各点的振动位移最大由振幅相等相向而行的上述两波迭加成的波，使直线上某些点始终静止不动（如黑点），这些点叫波节；另一些点的振幅具有最大值（如红点），等于每个波的振幅的两倍，这些点叫波腹。其他各点的振幅在0与最大值之间。结果使直线上各点作分段振动。uy1xuy2xyxt=3T/4波线上各点位移为0驻波是由波腹和波节相间组成的波。且两相邻波腹和波节间的距离是半个波长2对驻波的讨论：（1）在每一分段中，波线上各点振动的周相完全相同，只是振幅不一样。即同一分段波线上各点作振幅不同的同位相振动。而两相邻分段的周相相反。（2）在分段振动中，各个分段各自独立地振动，没有什么“跑动”的波形，也没有什么能量传播，故称为驻波。（3）波线上各点处的振幅随位置而作余弦式变化。用平面谐波的波动方程讨论驻波：界面x1y2y为了方便起见，设在坐标原点，入射波与反射波的初位相相同且为0，它们的波动方程可分别写成：)(2cos)(2cos21xTtAyxTtAy两波合成后，有:coscos21AAyyy对（9）式的讨论：1)、当x值给定时，振幅A(x)为一定值，由后一时间因子知，质点是作谐振动。统观波线上所有质点，它们都在作同周期的谐振动，但随与原点的距离x的不同，各点有不同的振幅：xAxA2cos2)(αβ)cos(cosAy(9)txAtTxAcos)(2cos)2cos2(0在波腹处：，即，解得：，k取值同上，波线上波腹点的坐标为：。12cosxkx2,2kx，，20x3）、质点振动的周相决定于的正负，凡是使为正的各x处的周相都相同，凡是使为负的各x处的周相也都相同。xA2cos2xA2cos2xA2cos22)、在波节处；即，解得，波线上波节的坐标为：；02cosx2)12(2kx4)12(kx,2,1,0k434，xtxAtTxAyyycos)(2cos)2cos2(21(9)xAxA2cos2)(4、简介半波损失当机械波从两种介质界面处反射时，在界面处有时形成波节，有时形成波腹，理论和实验都表明：这一切取决于界面两边介质的相对波阻。界面11u22u波阻（波的阻抗）是指介质的密度与波速u之乘积，相对波阻大的介质为波密介质，相对波阻小的介质为波疏介质。形成波节表明在界面处入射波与反射波的位相始终相反，即在界面处入射波和反射波的位相存在的位相差，这一现象称为半波损失。对机械波必须是正入射。如在界面上形成波腹，则表明在界面处入射波和反射波的位相始终相同，这时反射波没有半波损失。实验表明：波从波疏介质入射而从波密介质上反射时，界面处形成波节；波从波密介质入射而从波疏介质上反射时，界面处形成波腹。