机械控制工程基础(第二章)

系统的数学模型传递函数典型环节的传递函数系统的方框图及其联接物理系统传递函数的推导物理系统的数学模型及传递函数§2-1系统的数学模型一、数学模型二、建立数学模型的方法三、非线性系统的线性化1、线性系统2、非线性系统3、线性化方法{叠加性均匀性传动间隙、死区、摩擦力ix00xix0x0F?x0F?x0)()(!)()(10)(xRaxkafxfnknkk线性化方法：利用台劳公式))(()()(000xxxfxfxfxxfxf)()(0)()(!)()(11)(xRaxkafafnknkk),(),(])()[(!1),(),(11yxRbafybyxaxkbafyxfnknk)()()()(),(),(00000000yyyfxxxfyxfyxfyyxxyyxxyyfxxfyxfyyxxyyxx0000)()(),(由上例可知，系统的建摸步骤大致如下：(1)分析系统的工作原理及系统中各变量间的关系，确定系统的输入量及输出量。(2)对系统做必要的简化假设，略去次要的因素。(3)根据物理学定律，依次列出系统中各部分的动力学方程。(4)对非线性方程线性化。(5)消去中间变量，得出描述系统输入量与输出量间关系的微分方程。sXsXtxLtxLsGii00)()()(0sGsXsXiG(s)一、传递函数的定义§2-2传递函数)(0sX)(sXi二、传递函数的求法txbdttdxbdttxdbdttxdbtxadttdxadttxdadttxdaiimimmmimmnnnnnn01111000110110sXbsbsbsbsXasasasaimmmmnnnn011100111设线性定常系统(或环节)的一般表达式为在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换故得系统（或环节）的传递函数为011101110asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmi三、传递函数的性质（1）传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的固有特性，分子代表输入与系统间的关系。（2）传递函数不说明被描述系统的物理结构。只要动态性能相似，不同的系统可以用同一类型的传递函数来描述。（3）传递函数传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的。（4）传递函数是复变数ｓ的有理分式。对于实际的系统ｍ≤ｎ。(ｎ阶系统)011101110asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmi一、比例环节(放大环节、无惯性环节、零阶环节)凡输入量与输出量成正比，不失真也不延时的环节称为比例环节。其传递函数为KsG)(K式中K——比例环节的增益或放大系数。§2-3典型环节的传递函数)(0sX)(sXi0xix1Z2Z例求图所示一齿轮传动副的传递函数。ix0x1Z、分别为输入轴及输出轴转速，、2Z为齿轮齿数。120zzxxi120zxzxi经拉氏变换后021iXzXz210)()()(zzsXsXsGiK解：二、惯性环节式中K——放大系数T——惯性环节的时间常数1)(TsKsG)(0sX)(sXi1TsKmk)(0txc)(txi求所示的质量—阻尼—弹簧系统的传递函数。（若质量m相对很小，可略去其影响）例0)(00ixxkxc解：)()()(00skXskXscsXikcsksXsXsGi011Ts式中T——惯性环节的时间常数kcT0xc)(0ixxkviv0RCi例求图所示简单阻容电路图的传递函数。idtCiRvi1idtCv10ivC0ivvvRC00)()()1(0sVsVRCsi11)()(0RCssVsVsGi11Ts(T=RC)解：{三、微分环节理想微分环节的输出正比于输入的微分。即)()(0txTtxiTssXsXsGi)()()(0式中T——微分时间常数。Ts)(0sX)(sXi例Tv0式中T——常数sTssV0TsssVsG0即直流发电机作为测速发电机时，可认为是微分环节。解：LRMiviv0下图是简化了的直流发电机组。激磁电压恒定，磁通不变。此时电枢电压与转速成正比。若为输入，输出是电压，试求此系统的传递函数。iv0v0vdttxTtxi10TssG1四、积分环节式中T——积分环节的时间常数Ts1)(0sX)(sXi输出正比于输入对时间的积分的环节称为积分环节。例xn图示一齿轮齿条传动机构，取齿轮的转速n为输入量，取齿条的位移量x为输出量。试求此机构的传递函数。Dndtdx解：式中D——齿轮节圆直径sDsNsXsG式子含意是当输入为n时，输出x为输入n的积分的πD倍。2222nnnsssG式中ωn——无阻尼固有频率或121)(22TssTsGT——时间常数ξ——阻尼比102222nnnss)(0sX)(sXi五、振荡环节其传递函数为：cmkix0x例求图示的质量—阻尼—弹簧系统的传递函数。)()()()(0002skXskXscsXsXmsi22202nnnisssXsXsG0)(000ixxkxcxm0xm0xc)(0ixxk解：ikxkxxcxm000mknmkc2viv0LRCiLiRiC例下图是由电感L、电阻R及电容C，串、并联的线路，为输入电压，为输出电压。试求此系统的传递函数。0viv解：0vdtdiLvLidtiCC1RCLiii将后两式代入第一式，并作适当变换后，得RRiv0ivvdtdvRLdtvdLC00202iVVsVRLVLCs00022222nnnsssVsVsGi0112sRLLCsLCn1CLR21)()(0txtxi)()(0sXesXissiesXsXsG)()(0故传递函数为：两边拉氏变换后得：是一种纯时间延迟环节，又称为传输滞后环节。se)(0sX)(sXi六、延时环节例)()(12thth)()(0txtxies2hh1hhABLv测厚仪轧辊解：即：图示带钢在A点轧出时，产生厚度偏差，但到达B点时才为测厚仪检测到，测出值为，时间延迟为试求此系统的传递函数。1h2hvL，)()()(0sXsXsGi§2-4系统的方框图及其联接一、环节的基本联系方式1、串联)(1sG)(2sG)(3sG)(sXi)(0sX)(1sX)(2sX)()()(0sXsXsGiniisGsG1)()()()()()(12120sXsXsXsXsXsXi)()()(321sGsGsG2、并联++)(1sG)(2sG)(0sX)(sXi)(1sX)(2sX)()()(0sXsXsGi)()()(21sXsXsXi)()(21sGsGniisGsG1)(sG)(sH)(0sX)(sXi)()(sE)(sB3、反馈联接G(s)——前向通道传递函数H(s)——反馈回路传递函数(1)、闭环系统的开环传递函数)()()(0sHsGsG(2)、闭环传递函数BXEi)(sG)(0sX)(sXi)()()(0sXsXsi)()()(sXsEsGiGHG1BEGEEBG1EXXBG001若H(s)=1时)(1)()(sGsGs)(0sX)(sXi)(1sG)(sH)(2sG)(sN(3)、干扰作用下的闭环系统传递函数为：)()()(0sXsXsi若0)(sXi)(sH)(2sG)(1sG)(sN)(0sX)()()()(1)()()(212101sXsHsGsGsGsGsXi)()()()(1)()(21202sNsHsGsGsGsX)()()(02010sXsXsX)(1)(12122121sNHGGGsXHGGGGi若0)(sN1二、方框图的变换与简化(2)相加点（对信号求和）移动分支点前移分支点后移相加点前移相加点后移(1)分支点（信号由某一点分开）移动分支点前移)(23XXX1X2)(sG)(sG)(sGX1XX23X2分支点后移)(sGX1)(13XXX2)(sGX1X2)(1sG)(13XX相加点后移)(sGX1X2X3++(-))(sGX2X3++(-))(sGX1相加点前移)(sGX1X3++(-)X2)(sGX1X2X3++(-))(1sG例：方框图的简化H1H2G3G2G1++++--XiX0H1H2G3G2G1++++--XiX0H1G3G2G1++++--GH12XiX0H1G3G2G1++++--GH12XiX0G3++--HGGGG121211GH12XiX0G3++--HGGGG121211GH12XiX0+-HGGHGGGGG2321213211XiX0+-HGGHGGGGG2321213211XiX0GGGHGGHGGGGG3212321213211X0Xi