第二章传递函数讲解

开环控制系统闭环控制系统优点结构简单价格便宜调试简单准确、精度高反应灵敏、快速抗干扰元件变化影响小缺点准确性差反应慢不抗干扰元件变化影响大结构复杂成本高调试复杂控制系统中的变量（信号）：1输出变量被控制量输出信号2输入变量输入信号参考输入3干扰量干扰信号4偏差信号5其它信号对控制系统的基本要求稳定----控制系统可以工作的必要条件响应快----动态过程快速、平稳准确----稳态误差小稳快准控制系统的微分方程-建立和求解控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换控制系统的信号流图-梅逊公式脉冲响应函数各种数学模型的相互转换第二章自动控制系统的数学模型物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。控制系统的数学模型:描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。数学表达式：代数方程、微分方程静态数学模型：系统变量之间与时间无关的静态关系动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性控制系统数学模型的类型时域（t）模型微分方程频域（ω）模型频率特性结构图=原理图＋传递函数复域（S）模型传递函数常见数学模型：时域：微分方程；差分方程；状态方程复数域：传递函数频域：频率特性表达形式时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图频域：频率特性线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换建立控制系统数学模型的方法:分析法(又称机理建模法)是根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构以知的常用此法。实验法(又称系统辨识)是根据元件或系统对某些典型输入信号的响应或其他实验数据建立数学模型，当元件或系统比较复杂，其运动特性很难用几个简单的数学方程表示时，实验法就显得非常重要了。2-1控制系统的时域数学模型一、线性元件的微分方程建立系统或元件的微分方程的步骤：1）确定系统或元件的输入量和输出量2）依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列出一组微分方程3）消去中间变量，写出系统输入和输出变量的微分方程4）对微分方程进行整理，写成标准形式，即输出量放左边，输入量放右边，按降幂排列U1R1R2U2C1C2图2-1RC组成的四端网络例2-1：如图所示，由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。1111cUiRUdtiiCUc)(121112221ccUiRUdtiCUc222122cUU解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程如下：①②③④⑤U1R1R2U2C1C2图2-1RC组成的四端网络I1I2dtdUCdtdUCic22222dtdUCdtdUCidtdUCicc2211211122211cUiRRU222222111)(UdtdUCRdtdUCdtdUCRc由④、⑤得由②导出将i1、i2代入①、③，则得22222222211])([UdtdUCRdtdUCUiRdtdCR22222212112222211UdtdUCRdtdUCRdtdUCRdtUdCRCR1222221112222121)(UUdtdUCRCRCRdtUdCCRR这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。例2-2图示是弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F（t）作用下，位移x(t)的运动方程。解：f--阻尼系数k--弹性系数根据牛顿第二定律式中整理后mF(t)x(t)fF1F2)()()()(21tkytFdttdyftF[需要讨论的几个问题]：1、相似系统和相似量：idtqiuqCdtdqRdtqdL122我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。这是因为：若令（电荷），则例2-1①式的结果变为：可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中分别与为相似量。kfmFx,,,,CiRLuq1,,,,[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。2、线性系统的特点线性系统的主要特点：可叠加性和齐次性（叠加原理）叠加原理：设线性微分方程如时方程的解为，时方程的解为。就有当时，解（可叠加性）当（为常数）时，解（齐次性）)()()()(tftctctc)()(1tftf)(1tc)()(2tftf)(2tc)()()(11tftftf)()()(21tctctc)()(1taftf)()(1tactca叠加原理说明，对于线性系统（1）两个外作用同时加于系统所产生的总响应等于各个外作用单独作用时分别产生的响应之和；（2）外作用的数值增大若干倍时，响应也增加同样的倍数。可叠加性和齐次性使线性系统的分析和设计大为简化。3、非线性元件（环节）微分方程的线性化在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。[非线性系统]如果不能应用叠加原理--非线性例如：0,0)1(,sin)(322222222xxdtdxdtxdxdtdxxdtxdtAxdtdxdtxd在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项可以得到等效的线性环节AByx00xxx00y00yy)(xfy设具有连续变化的非线性函数y=f(x)如图所示若取某一平衡状态为工作点，如下图中的A(x0,y0)。A点附近有点为A(x0+Dx,y0+Dy)，当Dx很小时，AB段可近似看做线性的。[注意]：（1）实际的工作情况在工作点（稳定的工作状态，即平衡态）附近。（2）变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。三、线性定常微分方程的求解（一）复习拉氏变换①拉氏变换的物理意义拉氏变换是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或作相反变换。时域(t)变量t是实数，复频域F(s)变量s是复数。变量s又称“复频率”。拉氏变换建立了时域与复频域(s域）之间的联系。②定义：设函数f(t)满足①t0时f(t)=0②t0时，f(t)连续，则f(t)的拉氏变换存在，表示为：0sFsLftftedt()[()]()拉氏变换函数（象函数）原函数衰减因子，其中：τ-时间常数s=-σ+jω为拉氏变换算子，其中：σ-衰减系数ω-振荡频率（rad/s）由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为sesdtetLsFstst1|11)](1[)(00求指数函数e-αt的象函数。解:sesdtedteeeLsFtastasstatat1|1][)(0)()(00常用函数的拉氏变换对照表1)叠加定理：两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即)()()]([)]([)]()([212121SFSFtfLtfLtftfL④性质：证:)()()]()]([)()()]()([)]()([2121201021021sFsFtLftfLdtetfdtetfdtetftftftfLststst2)比例定理K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。即L［Kf(t)］=KL［f(t)］=KF(s)证:)()()]([)]([00sKFdtetfKdtetKftKfLstst3)微分定理：则：L［f’(t)］=sF(s)-f(0)证)0()()()0())((|)()()()()]([00000fssFdtetfsfdtestfetftdfedttfdtdetfdtdLtfLststststst5()()()()ftFsFssddstfts：若　　　微　　　则域分性LLL［f’(t)］=sF(s)–f(0)同理：L［f″(t)］=s2F(s)-sf(0)-f′(0)…L［f(n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-…-f(n-1)(0)若具有零初始条件，即f(0)=f’(0)=…=f(n-1)(0)=0则:L［f’(t)］=sF(s)L［f″(t)］=s2F(s)…L［f(n)(t)］=snF(s)（二）拉氏反变换按定义求拉氏反变换很困难，一般常用部分分式法计算：的一般形式为)(sF部分分式原函数分解查表)(sFnmnmbbbaaaasasasbsbsbsbsAsBsFmnnnnnmmmm为正数，且、均为实数，及，，其中10211111110)()()(的根。是0)(),,1()())(()(21sAnissssssssAin◆F(s)含有共扼复数极点时，可展开为312123()()()nnaaasaFsspspspsp111212()[][()()]()spspBsasaspspAs1212()nnaaaFsspspsp◆F(s)中具有不同的极点时，可展开为()[()]()kkkspBsaspAs待定系数◆F(s)含有多重极点时，可展开为11111111()()()()()()nrrrrrrnabbbaFsspspspspsp11()[()]()rrspBsbspAs111(){[()]}()rrspdBsbspdsAs1111111(){[()]}()!()rrsprdBsbsprAsds例tteetfCCsssCsCssssFssssF3212121222121)(21213131342)(342)(的反变换。求解：例121)1(2lim)()3(lim32)3()1(2lim)(lim43])3(2[lim)]()1[(lim21)3(2lim)()1(lim3)1()1()().()3()1(2)(2334200312111212431222ssssFsCsssssFCsssdsdsFsdsdCssssFsCsCsCsCsCsFtfsssssFssssssss的原函数求tteetsFLtfsssssF31212132]4321[)]([)(312132)1(43)1(21)(例ttetettfsssssssFtfssssFsin2cos)(1)1(21)1(11)12(3)().(223)(2222的原函数求解：3、含有共轭极点。微分方程以s为参量的象函数的代数方程象函数原函数(微分方程解)拉氏变换求解代数方程拉氏反变换（三）、用拉氏变换法求解微分方程''()3'()2()2'()6()()(),(0)2,'(0)1(),(),()zizsytytytftftfttyyytytyt已知求2()(0)'(0)3()3(0)2()2()6()sYssyysYsyYssFsFs解：方程取拉氏变换得举例22