差分方程模型(讲义)

1差分方程模型一.引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。1.确定性连续模型1)微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。2)微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。3)稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。4)变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。2.确定性离散模型1)逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。2)层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。2二.差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。1.差分方程的定义给定一个数列nx,把数列中的前1n项ix),,2,1,0(ni关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。2.常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程的一般形式为02211knknnnxaxaxax，(1)或者表示为0),,,,(1knnnxxxnF(1’)其中k为差分方程的阶数，其中kaaa,,,21为差分方程的系数，且0ka)(nk。对应的代数方程02211kkkkaaa(2)称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k个根k,,,21称为(1)式的特征根。2.1差分方程的解常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。2.1.1特征根为单根(互不相同的根)设差分方程(1)有k个单特征根(互不相同的根)k,,,21，则3nkknnncccx2211为该差分方程(1)的通解。其中kccc,,,21为任意常数，且当给定初始条件)0(iixx，),,2,1(ki(3)时，可以确定一个特解。例1在信道上传输三个字母cba,,且长度为n的词，规定有两个a连续出现的词不能传输，试确定这个信道允许传输的词的个数。解:令nx表示允许传输且长度为为n的词的个数，,3,2,1n，通过简单计算可得31x，(a,b,c),82x(即ab,ac,bc,bb,cc,ba,ca,cb)。当3n时，若词的第一个字母是b或c，则词可按1nx种方式完成;若词的第一个字母是a，则第二个字母是b或c，该词剩下的部分可按2nx种方式完成。于是得差分方程2122nnnxxx(,4,3n)其特征方程为0222，特征根为311，312则通解为nnnccx)31()31(21，(,4,3n)利用条件31x，82x求参数1c，2c，即由8)31()31(3)31()31(222121cccc，解得32321c，32322c故得到原差分方程的通解为4nnnx)31(3232)31(3232，(,4,3,2,1n)2.1.2特征根为重根设l,,21是k阶差分方程02211knknnnxaxaxax的l)1(kl个根，重数分别为lmmm,,,21，且kmlii1，则该差分方程的通解为nlimilinimiinimiinncncncxl112112111121同样的，有给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。例2设初始值为2,1,0,13210xxxx，解差分方程02534321nnnnnxxxxx，(,5,4n)解:该差分方程的特征方程为0253234，解得其根为2,1,1,1，故通解为nnnnncncnccx2)1()1()1(42321代入初始条件2,1,0,13210xxxx，得52421c，52291c，5273c，52104c故该差分方程的满足初始条件的解为nnnnnnnx25210)1(527)1(5229)1(524222.1.3特征根为复根设k阶差分方程02211knknnnxaxaxax的一对共轭复根i21,和相异的2k个单根k,,43，则该差分方程的通解为nkknnnnncccncncx443321sincos其中22，arctan。5同样由给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可类似的给出差分方程解的形式。3.常系数线性非齐次差分方程常系数线性非齐次差分方程的一般形式为)(2211nfxaxaxaxknknnn(4)其中k为差分方程的阶数，其中kaaa,,,21为差分方程的系数，且0ka)(nk，)(nf为已知函数。在差分方程(4)中，令0)(nf，所得方程02211knknnnxaxaxax(5)称为非齐次差分方程(4)对应的齐次差分方程，即与差分方程(1)的形式相同。求解非齐次差分方程通解的一般方法：首先求对应的齐次差分方程(5)的通解*nx，然后求非齐次差分方程(4)的一个特解)0(nx，则)0(*nnnxxx为非齐次差分方程(4)的通解。关于求*nx的方法同求差分方程(1)的方法相同。对于求非齐次方程(4)的特解)0(nx的方法，可以用观察法确定，也可以根据)(nf的特性用待定系数法确定，具体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。4.差分方程的平衡点及其稳定性在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但常常需要讨论解的稳定性。对于差分方程0),,,,(1knnnxxxnF，若有常数a是其解，即有0),,,,(aaanF则称a是差分方程0),,,,(1knnnxxxnF的平衡点，又对该差分方程的任意由6初始条件确定的解)(nxxn，均有axnnlim则称这个平衡点a是稳定的；否则是不稳定的。下面给出一些特殊差分方程的平衡点和稳定性。4.1一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为baxxnn1，(6)其中ba,为常数，且0,1a。它的通解为1)(abaCxnn(7)易知1ab是方程(6)的平衡点，由(7)式知，当且仅当1a时，1ab是方程(6)的稳定的平衡点。4.2二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式为rbxaxxnnn12，(8)其中rba,,为常数，当0r时，它有一特解0*x，当0r，且01ba时，它有一特解1*barx，不管是哪种情形，*x是方程(8)的平衡点。设方程(8)的特征方程为02ba的两个根分别为1，2，则①当21,是两个不同的实根时，方程(8)的通解为nnnCCxx)()(2211*；7②当21是两个相同实根时，方程(8)的通解为nnnCCxx)(21*③当)sin(cos2,1i是一对共轭复根时，方程(8)的通解为)sincos(21*nCnCxxnn易知，当且仅当特征方程的任一特征根1i时，平衡点*x是稳定的。4.3一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的一般形式为)(1nnxfx(9)其平衡点*x由代数方程)(xfx解出。为了分析平衡点*x的稳定性，将方程(9)的右端)(nxf在*x点作泰勒展开，只取一次项，得到)())((***'1xfxxxfxnn(10)(10)是(9)的近似线性方程，*x是(10)的平衡点，根据一阶常系数线性差分方程(6)baxxnn1的稳定性判定的相关结论，得：①当1)(*'xf时，方程(9)的平衡点是稳定的；②当1)(*'xf时，方程(9)的平衡点是不稳定的。三．差分方程建模实例1．贷款买房问题某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题：1)问该居民每月应定额偿还多少钱？2)假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房?1.1确定参变量：用n表示月份，An表示第n个月欠银行的钱，r表示月8利率，x表示每月还钱数，A0表示贷款额。1.2模型的建立与求解1)模型的建立时间欠银行款初始A0一个月后AArx101()二个月后AArx211()三个月后AArx321()n个月后AArxnn11()由上表可得相邻两个月的递推关系式xrAAnn)1(11.3模型的求解：(1)差分方程求解方法先求其特解。令yAAnn1，则xryy)1(，得特解为rxy。再求对应齐次方程)1(1rAAnn的通解。对应的特征方程为0)1(r，得)1(r。齐次方程的通解为：nrc)1(因此原方程的通解为：rxrcAnn)1(又因为0n时0AAn，得rxAc0故rrxrAAnnn1110(2)递推法：9rrxrArrxrAAnnnnn111111)1(010令A0=60000，A3000，n=300，r=0.01得xArrrnn030030011160000100110011001632...元因此，该居民每月应偿还632元。又632700，所以该居民可以去买房。2．借贷问题中国建设银行北京市分行个人住房贷款一至二十年“月均还款金额表”（自1998年3月25日起执行）的一部分如下：(借款额为一万元)单位：元贷款期限(年)年利率(%)还款总额(元)利息负担总和(元)月均还款额(元)1510.20619569.609569.60108.722010.20623488.8013488.8097.87试问他们是怎样算出来的？借贷问题的数学模型一.符号说明以贷款期限20年为例:10借贷额----------------000,100A;贷款期限-------------为N年;月利率----------------008505.012/206.10r;“月均还款额”-------表示每月还款额是相同的，记为x;还款总额------------记为S.二.建立模型一开始借款000,100A，一个月后欠银行本利为)1(01rAA，但为了减少欠款，还了x元，因而xrAA)1(01，第k个月情况也是