二阶和三阶行列式

1一、二阶行列式的引入二、三阶行列式2用消元法解二元线性方程组.,22221211212111bxaxabxaxa12:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa一、二阶行列式的引入，2x两式消去得3;212221121122211baabxaaaa）（,211211221122211abbaxaaaa）（，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax由线性方程组的四个系数确定.，1x类似地消去得021122211aaaa当时，方程组的解为4定义1.4由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表22211211aaaa21122211aaaa称为数表）（4）（4所确定的二阶行列式，并记作表达式22211211aaaa）（5即.2112221122211211aaaaaaaaD511a12a22a21a主对角线副对角线对角线法则2211aa二阶行列式的计算若记,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组系数行列式2112aa6.,22221211212111bxaxabxaxa22211211aaaaD7.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD8.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD.,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD9则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx注意分母都为原线性方程组的系数行列式。.2221121122111122aaaababaDDx10.12,12232121xxxx解1223D)4(3,07112121D,14121232D,21DDx11,2714DDx22.3721求解二元线性方程组例11二、三阶行列式定义1.5333231232221131211)6(aaaaaaaaa记,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa设有9个数排成3行3列的数表）（7（7）式称为数表（6）所确定的三阶行列式.12333231232221131211aaaaaaaaaD323122211211aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa(1)沙路法三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaaD.列标行标13333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa(2)对角线法则322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa14红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明注意（1）对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．（2）三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.15如果三元线性方程组;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,0利用三阶行列式求解三元线性方程组16;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD若记333231232221131211aaaaaaaaaD或121bbb17;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD记,3332323222131211aabaabaabD即18;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD19;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD得;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD20;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD得;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD21,3333123221131112abaabaabaD.3323122221112113baabaabaaD则三元线性方程组的解为:,11DDx,22DDx.33DDx333231232221131211aaaaaaaaaD,3332323222131211aabaabaabD222-43-122-4-21D解按对角线法则，有D4)2()4()3(12)2(21)3(2)4()2()2(241124843264.14例计算三阶行列式23.094321112xx解方程左端1229184322xxxxD,652xx求解方程0652xx由解得2x3x或例24解线性方程组.0,132,22321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式111312121D1111321211111221315,0例25同理可得1103111221D,51013121212D,100111122213D,5故线性方程组的解为,111DDx,222DDx.133DDx26课堂练习P251,(1),(2)27一、概念引入二、全排列及其逆序数三、计算排列逆序数的方法四、小结与思考28一、概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有612329二、全排列及其逆序数问题把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？30定义1.1把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.nn通常用表示.个不同的元素的所有排列的种数，nnP由引例1233P.6nPn)1(n)2(n123!.n同理31我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.nstiiiii21stii例如排列32514中，定义1.232514逆序逆序逆序33一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514中，32514逆序数为31310故此排列的逆序数为1+3+0+1+0=5.定义1.334逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性35方法1三、计算排列逆序数的方法从左到右分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.36从右到左分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法237例求排列32514的逆序数.解在排列32514中,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;383251401031于是排列32514的逆序数为13010t.53排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;39计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.2179863541解453689712544310010t18此排列为偶排列.540100134例40321212nnn解12,21nn当时为偶排列；14,4kkn当时为奇排列.34,24kkn1nt2n32121nnn1n2n41kkkkkk132322212123解0tkkk21112,2k当为偶数时，排列为偶排列，k当为奇数时，排列为奇排列.k112kkk112kkkkkk1323222121201122k42练习求i，j使25i4j1为偶排列。解6元排列使i、j只能取3或6；由于，（7)25346110)256431（所以，i=6,j=3。（偶数）43定理2.1：经过一次对换，排列的奇偶性改变。定理2.2所以n（n=2）元排列中，奇偶排列各占一半，均为n!/2个。四、补充知识442排列具有奇偶性.3计算排列逆序数常用的方法有2种.1个不同的元素的所有排列种数为n!.n五、小结与思考45思考题1分别用两种方法求排列16352487的逆序数.46思考题解答解用方法116352487用方法201012130t8由前向后求每个数的逆序数..810231100t47思考题2若排列的逆序数证明：njjj21kjjjn)(21knnjjjjnn2)1()(12148作业P251（3）（4）,2