高等代数考研复习[矩阵]

2014年8月第二章矩阵矩阵是高等代数研究的主要对象之一，也是数学及许多科学领域中最重要的工具.矩阵问题丰富多彩，技巧性高.在高等代数中扮演着重要角色.本章主要复习内容:(1)矩阵运算与特殊矩阵(2)初等变换与矩阵的逆(3)矩阵的秩(4)分块矩阵及应用1.矩阵的运算与特殊矩阵(1)矩阵的线性运算(a)矩阵的加法设是数域P上的矩阵，和定义为.(b)数乘矩阵设，与的乘积定义为矩阵加法与数乘称为矩阵的线性运算，且满足运算律.(),()ijsnijsnAaBb()ijijsnABab(),ijsnAakPkA()ijsnkAka(2)矩阵的乘法(a)设定义与的乘积为：其中，注：两个矩阵只有当前面矩阵的列数与后面矩阵的行数相等时才能相乘.满足的运算律有：结合律；分配律；数与乘法的结合律即：但是，乘法一般不满足交换律即:有三种原因，你是否知道？(b)方阵的幂及矩阵多项式(),()ijsnijnmAaBbAB(),ijsmABc1122ijijijinnjcababab()()().kABAkBkAB.ABBAmmAAAA个称为矩阵的方幂.矩阵多项式：设为方阵，称为矩阵的多项式。对任意的都有(3)矩阵的转置(a)将矩阵的行列互换，所得到的矩阵称为的转置。记为或1110(),mmmmfxaxaxaxaA1110(),mmmmfAaAaAaAaEA(),()fxgx()()g(A)f(A).fAgA()ijsnAaAA.TA(b)转置的性质特别(4)特殊矩阵(a)对角矩阵对角矩阵的和、差、积、方幂为主对角线上元素的和、差、积、方幂.它的逆为(),(),AAABAB(),().kAkAABBA()().nnAA12.nA111121nA(b)对称阵与反对称阵若方阵满足，即则称A为对称矩阵.若方阵满足，即则称A为反对称矩阵.结论1：任一方阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和即结论2：奇数阶反对称矩阵的行列式为零；偶数阶反对称矩阵的行列式可能为零也可能非零.()ijnnAaAAijjiaa()ijnnAaAAijjiaa11()().22AAAAA(c)基本矩阵形如的矩阵称为基本矩阵.结论1：任一矩阵都可由基本矩阵线性表出.结论2：与任意矩阵可换的矩阵一定是数量矩阵.证明可利用基本矩阵.(d)正交矩阵，幂等矩阵，幂零矩阵，对合矩阵1ijjEi,AAAAE2,AA20,A2.AE(e)可换矩阵若方阵满足则称矩阵A与B可换.结论1：与对角阵(主对角元互不相等)可换的矩阵只能是对角矩阵.结论2：与可换的矩阵只能是同型的准对角矩阵.当A与B可换时，下面结论成立.的展开式成立.特别，当时，上述公式应用广泛.ABBA12naEaEAaE(),nnnABABBE题型分析：例1设,求.求矩阵的方幂一般有三种方法：(1)归纳法，(2)可换公式法，(3)相似对角化法.由于矩阵A是特殊矩阵，所以使用可换公式法简单！例2设为任意多项式，求出的表达式.100100AnA3211.A1110()mmmmfxaxaxaxa()fA例3设A、B为n阶方阵，且证明：分析：证明A、B可换，联想到可逆定义即可获结论.例4设求所有与A可换的矩阵.提示：先化简，后计算.例5设均为n阶方阵，其中的元素均为1，证明方程仅有零解.注意：这种元素均为1的矩阵有特殊性质,以后还会遇到！,ABAB.ABBA100010312A,AXAXAXXA2AnA2.初等变换与矩阵的逆(1)初等变换(a)交换矩阵的两行(列).(b)矩阵的某一行(列)同乘一个非零数.(c)矩阵的某一行(列)的常数倍加到另一行(列).(2)初等矩阵对单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵有三种形式：E(,),(()),(,()).PijPicPijk结论1：初等矩阵都是可逆的，且结论2(变换与矩阵乘积的关系)在矩阵A的左(右)侧乘初等矩阵，相当于对矩阵A作一次相应的行(列)初等变换.(3)矩阵的等价对矩阵A做初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价.1111(,)(,),(())(()),(,())(,()).PijPijPicPicPijkPijk,PQ若则矩阵与矩阵等价，称为的等价标准形.即存在可逆矩阵使A(),rArrEoooAP0.00rEPAQ结论1：等价标准形在处理矩阵问题中有重要应用！结论2：可逆矩阵的等价标准形是结论3：矩阵A与B等价的充要条件是(4)逆矩阵(a)逆矩阵的定义对于方阵如果存在方阵使得则称矩阵可逆，为的逆矩阵，记为(b)逆矩阵的性质.E()().rArBAB,ABBAEABA1.A(c)伴随矩阵及相关公式设称为A的伴随矩阵，下面公式成立：(d)矩阵可逆的判别条件矩阵可逆的充分必要条件为：也有等价条件(e)求逆矩阵的方法11111(),(),AAkAAk111(),ABBA11()(),AA1111()(),||.||nnAAAA(),ijsnAa*(),ijsnAA**||.AAAAAEA||0.A||0()0.iArAn伴随矩阵法：此法仅限于二阶矩阵.初等变换法：题型解析:(a)与逆矩阵定义及性质相关问题.(b)与伴随矩阵有关问题.（c）矩阵方程解法.1*1,||AAA1(|)(|)AEEA11abdbcdcaadbc证明A可逆，并求方法一：初等变换法.方法二：利用矩阵的特殊性及运算性质.例2设A为n阶方阵,若可逆且求证:(1)(2)例3设A满足证明：与可逆，并求逆.1111111111111nnnAnnnnnnn1.AAE1()()()fAEAEA(())()2.EfAEAE(()).ffAA220,AAEA2AE例1设例4已知均可逆，证明：可逆，并求逆.例5已知可逆，证明：可逆，且这是一个较难的问题，可以灵活地从几个方面去考虑：(a)利用逆的定义(b)利用反证法，构造齐次方程组(c)利用增补项方法构造,,ABAB11ABEABEBA1()().EBAEBEABA下面问题与伴随矩阵有关，四个结论是重要的.(a)(b)**||.AAAAAE*1||||,(2).nAAn(c)(d)要求会证明四个公式，清楚他们的联系.*,().()1,()1.0,().nrAnrArAnrAn**2()||.nAAA且求矩阵例2已知A为3阶非零方阵，且证明，A可逆，并求*1000010010100308A113,ABABAE.B,ijijaA||.A例1已知A的伴随矩阵例3设n阶矩阵A满足,mAE又矩阵(),ijnnBA其中ijA为A中元素的代数余子式，证明.mBE例4证明：与任意n阶可逆矩阵可交换的矩阵一定与任意n阶矩阵可交换.例5如果可逆的n阶方阵A的每行元素之和为a，试证明：的每一行元素之和为1A1.a矩阵方程是线性代数研究的重要对象.矩阵方程求解大致分为两步进行：先化简方程，然后求解.如果所求未知矩阵只有一个，通过移项，合并同类项提取公因子等使之变形为或或的形式，再通过左乘或右乘可逆矩阵，即可求出未知矩阵.如果矩阵方程除含有所求的未知矩阵外，还含有未知伴随矩阵、未知可逆矩阵、未知矩阵的转置等形式时，常常先利用公式进行转化，转化为第一种形式.AXCXACAXAC例1设3阶矩阵A与B满足若2,ABEAB101021101A求矩阵B.例2设3阶方程A与B满足若*6,ABAABA101010101A求矩阵B.例3已知矩阵A、B如下，且满足求22,AXBAXABAB210101730,120001321AB.X例4设A为矩阵，证明：矩阵方程mnAXAA必有解.证明：设则存在可逆矩阵P、Q使得(),rAr0.00rEAPQ令11000rEGQP于是有.AGAA3.矩阵的秩(1)矩阵秩的两种定义：a)矩阵A的行秩等于列秩，称为A的秩.记为b)的充分必要条件为A至少有一个阶子式非零，但是所有阶子式全为零.注：掌握子式、主子式、顺序主子式的概念.().rA1212()(,,,)(,,).snsnrArr()rArr1r(2)矩阵秩的求法依据：初等变换不改变矩阵的秩.对矩阵作初等变换将它化为阶梯形，则阶梯形矩阵非零行的个数为矩阵的秩.(3)矩阵秩的性质a)b)若矩阵可逆，则c)d)e)A()min{,}.snrAsn,PQ()()()().rArPArAQrPAQ*()(),()(),rArArArA()()().rArAArAA()()().rABrArB(){(),()},()(),()().rABrArBrABrArABrBf)特例，若则g)设则h)设则题型分析：1)矩阵秩的求法与简单性质应用例1讨论矩阵的秩.()()().snnmrABrArBn0AB()().rArBn00AMB()()().rMrArB00AMB()()().rMrArBabbbabAbba例2设A是一个矩阵，B是矩阵，如果试求并证明例3设A,B是n阶方阵，且求例4设A为n阶方阵，且证明:(1)(2)若则3223822254245AB2(),(),(),rABABrBA9.BAE22,AABE().rABBAA2AE()().rAErAEn2,AA()().rArAEn2)利用齐次线性方程组的解处理矩阵秩的问题例1设，证明：例2证明：例3证明：的充分必要是与同解.例4设A、B、C是三个n阶矩阵，如果则例5设A为任意n阶方阵，证明：0AB()().rArBn()()().rArAArAA()()rArBA0AX0BAX()()rArBA()().rACrBAC1()().nnrArA3)秩不等式的证明例1(西尔维斯特不等式)证明：熟悉分块矩阵的应用！例2设都是n阶方阵，且证明：例3设证明：()()().snnmrABrArBn12,,mAAA120mAAA12()()()(1).mrArArAmn,,snnmmlABC()()()().rABCrABrBCrB4.分块矩阵1)分块矩阵乘法与转置a)b)设则1212(,,,)(,,,).nnABABBBABABAB1122ssAABAABABBAAB1234,AAAAA1324.AAAAA2)常见分块法a)行、列分块.b)二分块c)四分块d）准对角矩阵3)分块矩阵的初等变换与初等矩阵a)交换两行，b)某一行(列)左(右)同乘一个可逆矩阵.c)某一行(列)的矩阵倍加到另一行.1122.snAABBA1234.snAAAAA分块初等矩阵：将作一次初等变换得到的矩阵称为分块初等矩阵.结论：对分块矩阵做一次行初等变换，相当于在它的左边乘上相应的分块初等矩阵.题型分析:(1)分块及分块乘法的应用.(