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1放缩技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:一、裂项放缩例1.(1)求nkk12142的值;(2)求证:35112nkk.解析:(1)因为121121)12)(12(21422nnnnn,所以122121114212nnnknk(2)因为12112121444111222nnnnn,所以35321121121513121112nnknk技巧积累:(1)1211212144441222nnnnn(2))1(1)1(1)1()1(21211nnnnnnnCCnn(3))2(111)1(1!11)!(!!11rrrrrrnrnrnnCTrrrnr(4)1111(1)1132132(1)nnnn(5)nnnn21121)12(21(6)nnn221(7))1(21)1(2nnnnn(8)nnnnnnn2)32(12)12(1213211221(9)knnkknnnkknknk11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(nnnn(11)21212121222)1212(21nnnnnnn(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112nnnnnnnnnnnnnn(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123nnnnnnnnnnnn11112111111nnnnnnn(13)3212132122)12(332)13(2221nnnnnnnnn(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2kkkkkk(15))2(1)1(1nnnnn(15)111)11)((1122222222jijijijijijiji1.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222nnn2(2)求证:nn412141361161412(3)求证:1122642)12(531642531423121nnn(4)求证:)112(2131211)11(2nnn2.35191411)12)(1(62nnnn3.已知nnna24,nnnaaaT212,求证:23321nTTTT.二、函数放缩)0(lnx1xx)(xx11ln(x1)xxxxx11ln1ln.(x1)例.求证:nnn1211)1ln(113121解析:提示:2ln1ln1ln1211ln)1ln(nnnnnnnnn2.求证:en)!11()!311)(!211(和en)311()8111)(911(2.三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(mabmambab和)0,0(mbamambab记忆口诀”小者小,大者大”,解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(nn和121)211()611)(411)(211(nn解析:利用假分数的一个性质)0,0(mabmambab可得122563412nnnn212674523)12(212654321nnn12)122563412(2nnn即.12)1211()511)(311)(11(nn1.证明:.13)2311()711)(411)(11(3nn四、分类放缩例。.求证:212131211nn31.求证:nn2121312112n1五、二项放缩nnnnnnCCC10)11(2,1210nCCnnn,2222210nnCCCnnnn)2)(1(2nnnn)2(1x1nnxn)(例.已知112111,(1).2nnnaaann证明2nae解析:)1(1))1(11(1nnannann)1)()1(11(11nnanna.)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1nnnnaann111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112naaiiaanniiini,即.133ln1)1ln(2eeaann1.a0,b0,c0,)3(,a222ncbacbnnn求证:已知2.已知a+b=1,a0,b0,求证:.12nnnba练习:1.)2(212)1n211()511)(311(nn2.)1(n131211nn3.(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{na}的前n项和满足11S,且*),2)(1(6NnaaSnnn(1)求{na}的通项公式;(5分)(2)设数列{nb}满足1)12(nbna,并记nT为{nb}的前n项和,求证:*2),3(log13NnaTnn.(7分)4.已知曲线22:20(1,2,)nCxnxyn.从点(1,0)P向曲线nC引斜率为(0)nnkk的切线nl,切点为(,)nnnPxy.(1)求数列{}{}nnxy与的通项公式;(2)证明:1352112sin1nnnnnxxxxxxxy45.(本小题满分12分)设数列{}na满足11110,1.11nnaaa+=-=--且(Ⅰ)求{}na的通项公式;(Ⅱ)设11,nnabn+-=记1nnkkSb==å,证明:1.nS6.已知数列na的前n项和2()3nnSnn.(Ⅰ)求limnnnaS;(Ⅱ)证明:12222312nnaaan…>.7.20.(本小题满分14分)已知数列{}na与{}nb满足:1123(1)0,2nnnnnnnbaabab,*nN,且122,4aa.(Ⅰ)求345,,aaa的值;(Ⅱ)设*2121,nnncaanN,证明:nc是等比数列;(Ⅲ)设*242,,kkSaaakN证明:4*17()6nkkkSnNa.8.
本文标题:放缩法技巧全总结
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