圆锥曲线中的四心

第1页共9页圆锥曲线中的“四心”云南省会泽县茚旺高级中学杨顺武摘要：通过对三角形四心与圆锥曲线的有机结合，达到训练学生的思维，提升学生的解题能力。同时起到培养学生的说思路、练本领、强素质的作用．关键词：思维流程内心外心重心垂心解题能力正文：圆锥曲线是每年高考的重点内容之一，从近几年的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征，又体现传统内容的横向联系和新增内容的纵向交汇，而三角形在圆锥曲线中更是如鱼得水，面积、弦长、最值等成为研究的常规问题。“四心”走进圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此，在高考数学第二轮复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，从而战胜高考．例1、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A、(2,0)B、31,2C三点．（Ⅰ）求椭圆E的方程：（Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，(1,0),(1,0)FH，当ΔDFH内切圆的面积最大时，求ΔDFH内心的坐标；思维流程：（Ⅰ）（Ⅱ）由椭圆经过A、B、C三点设方程为122nymx得到nm,的方程组解出nm,由DFH内切圆面积最大转化为DFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点DFH面积最大值为3内切圆周长rSDFH2133内切圆r第2页共9页解题过程：（Ⅰ）设椭圆方程为122nymx0,0nm将(2,0)A、(2,0)B、3(1,)2C代入椭圆E的方程，得41,914mmn解得11,43mn.∴椭圆E的方程22143xy．（Ⅱ）||2FH，设ΔDFH边上的高为hhSDFH221当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以DFHS的最大值为3．设ΔDFH的内切圆的半径为R，因为ΔDFH的周长为定值6．所以，621RSDFH所以R的最大值为33．所以内切圆圆心的坐标为3(0,)3.点石成金：的内切圆的内切圆的周长rS21例2、椭圆长轴端点为BA,，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且1FBAF，1OF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于QP,两点，问：是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。思维流程：（Ⅰ）2,1ab写出椭圆方程由1AFFB，1OF()()1acac，1c得出D点坐标为33,0第3页共9页（Ⅱ）消元解题过程：（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为22221(0)xyabab,则1c又∵1FBAF即22()()1acacac∴22a故椭圆方程为2212xy（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于QP,两点，且F恰为PQM的垂心，则设1122(,),(,)PxyQxy，∵(0,1),(1,0)MF，故1PQk，于是设直线l为yxm，由2222yxmxy得2234220xmxm∵12210(1)(1)MPFQxxyy又(1,2)iiyxmi得1221(1)()(1)0xxxmxm即212122()(1)0xxxxmmm由韦达定理得222242(1)033mmmmm解得43m或1m（舍）经检验43m符合条件．点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．1PQk由F为PQM的重心,PQMFMPFQ2222yxmxy2234220xmxm两根之和，两根之积0MPFQ得出关于m的方程解出m第4页共9页例3、在椭圆C：13422yx中，21FF、分别为椭圆C的左右两个焦点，P为椭圆C上的且在第一象限内的一点，21FPF的重心为G，内心为I．（Ⅰ）求证：21FFIG；（Ⅱ）已知A为椭圆C上的左顶点，直线l过右焦点2F与椭圆C交于NM,两点，若ANAM,的斜率21,kk满足2121kk，求直线l的方程．思维流程：（Ⅰ）（Ⅱ）解题过程：（Ⅰ）设),(00yxP，重心),(yxG，由已知可知)0,1(1F，)0,1(2F则31)1(0xx，3000yy)3,3(00yxG由已知得1(1,0)F，2(1,0)F设00(,)Pxy重心00(,)33xyG12120012PFFSFFyy内切圆rFFPFPFSFPF)(212121210321yrSFPF内切圆30yr内I的纵坐标为30yIG∥21FF21FFIG由2121kk，可知l的斜率一定存在且不为0，设为kl的方程为)1(xky134)1(22yxxky消去y得01248)43(2222kxkxk2221222143124438kkxxkkxx利用2121kk得k的方程解出k第5页共9页由00212121yyFFSFPF又内切圆rFFPFPFSFPF)(212121210321yrSFPF内切圆内心I的纵坐标为30yIG∥21FF即21FFIG．（Ⅱ）若直线l斜率不存在，显然120kk不合题意；则直线l的斜率存在．设直线l为)1(xky，直线l和椭交于11(,)Mxy，22(,)Nxy。将:1243)1(22中得到代入yxxky01248)43(2222kxkxk依题意：110992kkk或得由韦达定理可知：2211222143124438kkxxkkxx又)2121(2222112211xxxxkxyxykkANAM1211[23()]22kxx而4)(24212121212121xxxxxxxx2222222312)43(416124)43(48kkkkkkk从而211)31232(22kkkkkkANAM求得2k符合.1k故所求直线MN的方程为：).1(2xy点石成金：重心的特点为坐标3,3321321yyyxxx．第6页共9页例4、已知双曲线C以椭圆13422yx的焦点为顶点，以椭圆的左右顶点为焦点．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若21,FF为双曲线C的左右焦点，P为双曲线C上任意一点，M为21FPF的外心，且6021PFF,求点M的坐标．思维流程：（Ⅰ）（Ⅱ）解题过程：（Ⅰ）由已知可知，双曲线的2,3,1cba，则双曲线的方程为1322yx（Ⅱ）因为M为外心，所以21MFMF，则点M在线段21FF的垂直平分线上即在y轴上又同弧上的圆心角是圆周角的2倍，21212PFFMFF则02102130,120FMFMFF在OMFRt1中，01130,2OMFOF则332MO即)332,0(M．点石成金：外心的特点为到三个顶点的距离相等或说是三边的垂直平分线的交点．能力提升：1、椭圆：)0(12222babyax求椭圆的焦点三角形内心的轨迹方程．由已知易得双曲线中3,2,1bca写出双曲线的方程M是21FPF的外心M在y轴上，且21212PFFMFF02102130,120FMFMFF在OMFRt1中，01130,2OMFOF233MO23(0,)3M第7页共9页解：如图（1），设点P00,yx，内心I为),(yx，焦点)0,()0,(21cFcF、，11rPF，22rPF，则0212exrr．过内心I作IFIEID、、垂直2121PFPFFF、、于点FED、、．∵点I是△PFF21的内心，点FED、、是内切圆的切点，图（1）∴由切线长定理，得方程组：cDFDFrFFPFrEFPE2212211，结合0212exrr，解得：01excDF．而xcDF1，∴0exx，既exx0．……………………①又∵△PFF21面积0ycS，ycayPFPFFFSF)()(21121，∴0ycyca)(，既0y=ycca．…………………………………②将①②代入)0(1220220babyax，得1)(222222cacbycx．可知，椭圆)0(12222babyax焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆，它的离心率是ee12．2、椭圆：)0(12222babyax求椭圆的焦点三角形垂心的轨迹方程；解：如图（2），设点P00(,)xy，垂心H为),(yx，焦点)0,()0,(21cFcF、，则),(1ycxHF，),(002yxcPF．∵HF1⊥2PF，∴),(ycx00(,)cxy=0．图（2）又∵0xx，第8页共9页∴2200cxyy．……………………………………..①而2200221(0)xyabab，∴22222220022()()bbyaxaxaa……………………….②将②式代入①式，整理得：2222()acxybax．由方程可以看出，椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线，它与哪些初等函数图象有关？请大家思考．3、已知动圆过定点F1,0，且与定直线1y相切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹W的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹W相交于A、B两点，若在直线1y存在点C，使ABC为正三角形，求直线l方程.（Ⅲ）当直线l得斜率大于零时，求ABC外心的坐标．解：（Ⅰ）设动圆圆心为),(yxP，根据题意，得1)1(22yyx化简得yx42故动圆圆心P的轨迹W的方程为yx42.（Ⅱ）设直线l的方程为1kxy，),(),,(2211yxByxA，弦AB中点为),(00yxM（ⅰ）当0k时，由yxy412得)1,2(),1,2(BA此时4AB，有图形的对称性可知，1y上的点C只可能是)1,0(而22)11()20(22AC故ACAB，不合题意.（ⅱ）当0k时，由yxkxy412得0442kxx242)(,4,4221212121kxxkyyxxkxx则122,222210210kyyykxxx即)12,2(2kkM第9页共9页若在直线1y上存在点C，使ABC为正三角形则设直线)12()2(1:2kkxkyMC，与1y联立，解得324kkx，即)1,24(3kkC由ABCM23，得)2(23)22()22(212223yykkk即222223)44(43)22()22(kkkk化简得22222)1(2)1(kkk即2,22kk故直线l的方程为12xy（Ⅲ）由(Ⅱ）知，2k，直线l的方程为12xy，点)1,28(Cyxxy4122得04242xx则4242121xxxx，102)(22121xxyy则ABC的外心坐标为)3)1(,328(2121yyxx，即)3,24(4、椭圆：)0(12222babyax求椭圆的焦点三角形重心的轨迹方程；提示：椭圆)0(12222babyax焦点三角形重心的轨迹仍是一个椭圆，如图（5），它的离心率与)0(12222babyax的离心率相同，方程为)0(1992222babyax．