南大复变函数与积分变换课件(PPT版)3.4-解析函数的高阶导数

1第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数§3.4解析函数的高阶导数一、高阶导数定理二、柯西不等式三、刘维尔定理2第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数一、高阶导数定理分析则由柯西积分公式有.)(,d)(21)(DzzfiπzfC又,)()(dd21][zzz)1()(!1dd)(nnnznzz,)(2)(dd3122][zzz,)(!1nzn……如果函数在区域D内解析，在上连续，)(zfCDD3第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数一、高阶导数定理.)(,d)()(2!)(1)(DzzfiπnzfCnn定理如果函数在区域D内解析，在上连续，)(zfCDD则的各阶导数均在D上解析，)(zf证明(略)意义解析函数的导数仍解析。应用推出一些理论结果。反过来计算积分.)(!2d)()(0)(10zfniπzzzzfnCn且P71定理3.9(进入证明?)4第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数iiπcos099)(!992ezziπ解1||3d)(cosizzizzizziπsco!22.)(21eeiπ例计算.d1||100ezzzz解1||100dezzzz.!992iπP73例3.12部分5第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数.)()(22eizizz22)1()(ezzfz(1)令解.d)1(2||22ezzzzI例计算212222)(d)()(d)(eeCzCzizzizizziz则21d)(d)(CCzzfzzfI(复合闭路定理)C2C1C2ii如图，作C1,C2两个小圆，记为.21II6第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数解.d)1(2||22ezzzzI例计算C2C2iC1i(2)1221)(d)(eCzizzizIizziziπ]e[2)(!12(高阶导数公式).)1(2eiiπ.)1(2e2iiπI同样可求得(3)21III]ee[)1()1(2iiiiπ.)41sin(2πiπ7第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数二、柯西不等式定理设函数在内解析，且)(zfRzz||0,|)(|Mzf则,!|)(|0)(nnRMnzf.),2,1(n(柯西不等式)证明,0:11RRR函数在上解析，)(zf10||Rzz,d)()(2!)(10||100)(Rzznnzzzzfiπnzf.),2,1(n10||100)(d|||)(|2!|)(|Rzznnszzzfπnzf,!1nRMn令即得,1RR,!|)(|0)(nnRMnzf.),2,1(nP73定理3.108第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数三、刘维尔定理定理设函数在全平面上解析且有界，则为一常数。)(zf)(zf设为平面上任意一点，证明0z函数在上解析，且)(zfRzz||0,0R,|)(|Mzf根据柯西不等式有,|)(|0RMzf令即得,R,0)(0zf由的任意性，知在全平面上有0z,0)(zf则为一常数。)(zfP74定理3.119第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数证(1)任取正数,2r则函数在内解析，)(zfrz||由高阶导数公式有(注意在上的性态不知道))(zf2||z,d)(21)0(||2rzzzzfiπf,d)(21|)0(|||2rzzzzzzfiπf,d|||||)(|21|)0(|||2rzszzzzfπf10第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数证,d|||||)(|21|)0(|||2rzszzzzfπf(1)(2)由,|2|1|)(|zzzf有rzrzszπszzπf||||2d||121d|2|||121|)0(|,221d)||2(||121||2rπrπszzπrz,12)2(21|)0(|2rπrrπf11第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数证(2),d|||||)(|21|)0(|||2rzszzzzfπf(1)12)2(21|)0(|2rπrrπf,1)2(1rr(3)令得1r.2|)0(|f12第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数证(1)由于在内解析，根据高阶导数定理可得)(zf2||z在内，也解析；)(zf2||z(2)由可得|||2)(|zzf在内，，2||z0)(zf)()(zfzfz在内解析；2||z13第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数(3)根据柯西积分公式有证(4)由,|||2)(|zzf,0|2)0(|f;2)0(f1||d)()(1)(zzzzfzfziπ0)()()(12zzfzfziπiπ;)0()0(2ff即得.)0(d)()(11||)(fzzzfzfziπz14第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数证(反证法)则函数在全平面上解析，)(1)(zfz设函数,)(0111azazazazfnnnn其中，n为正整数，例,0na(代数基本定理)证明方程在全平面上0)(zf至少有一个根。假设在全平面上无根，即0)(zf,)(0)(zzf,001111lim)(limazazazaznnnnzz又故在全平面上有界，)(z根据刘维尔定理有Cz)((常数)，1)(Czf(常数)，与题设矛盾。15第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数休息一下……16第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数附：高阶导数定理的证明.)(,d)()(2!)(0100)(DzzzzzfiπnzfCnn定理如果函数在区域D内解析，在上连续，)(zf则的各阶导数均在D上解析，且CDD)(zf证明由函数在上连续，有)(zfCDD在上有界，即|)(|zfCDD.|)(|Mzf设边界C的长度为L。(1)先证的情形，即证.d)()(21)(200Czzzzfiπzf1n17第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数附：高阶导数定理的证明证明(1)先证的情形，即证.d)()(21)(200Czzzzfiπzf1n根据柯西积分公式有,d)(21)(00Czzzzfiπzfzzfzzfzf)()(00Czzzzzzzfziπd11)(21)(00,d)()()(2100Czzzzzzzfiπzf18第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数附：高阶导数定理的证明证明(1)先证的情形，即证.d)()(21)(200Czzzzfiπzf1n,d)()()(2100CzzzzzzzfiπzfCzzzzfiπzfd)()(2120Czzzzzzzfiπzd)()()(2200记为.I下面需要证明：当时，.0I0z19第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数附：高阶导数定理的证明证明(1)先证的情形，即证.d)()(21)(200Czzzzfiπzf1nCzzzzzzzfiπzI.d)()()(2200dDCz0如图，设d为z0到C的最短距离，,2|Δ||||Δ|00dzzzzzz取适当小，使其满足zΔ,2|Δ|dz则LMddπzI2122||||即得,)0(,0z,||0dzz即20第三章复变函数的积分§3.4解析函数的高阶导数由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数，附：高阶导数定理的证明证明(2)对于的情形2n因此将作为新的函数，用同样的方法求极限：)(zf,Δ)()Δ(lim000Δzzfzzfz.d)()(2!2)(300Czzzzfiπzf即可得(3)依此类推，则可以证明.)(,d)()(2!)(0100)(DzzzzzfiπnzfCnn(返回)