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平面向量的坐标运算[学习目标]1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念,要把点的坐标与向量的坐标区分开来.知识点一平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(2)向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,a=(x,y)叫做向量的坐标表示.(3)向量坐标的求法:在平面直角坐标系中,若A(x,y),则OA→=(x,y),若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB→=(x2-x1,y2-y1).思考根据下图写出向量a,b,c,d的坐标,其中每个小正方形的边长是1.答案a=(2,3),b=(-2,3),c=(-3,-2),d=(3,-3).知识点二平面向量的坐标运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)若a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.(4)已知向量AB→的起点A(x1,y1),终点B(x2,y2),则AB→=(x2-x1,y2-y1).思考已知a=OA→,b=OB→,c=OC→,如下图所示,写出a,b,c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a+b,a-b以及a-3c,然后写出它们的坐标.答案易知:a=(4,1),b=(-5,3),c=(1,1),OD→=a+b=(-1,4),BA→=a-b=(9,-2),OF→=a-3c=(1,-2).题型一平面向量的坐标表示例1已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量AB→,AC→,BC→,BD→的坐标.解如图,正三角形ABC的边长为2,则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos60°,2sin60°),∴C(1,3),D(12,32),∴AB→=(2,0),AC→=(1,3),BC→=(1-2,3-0)=(-1,3),BD→=(12-2,32-0)=(-32,32).跟踪训练1在例1的基础上,若E为AB的中点,G为三角形的重心时,如何求向量CE→,AG→,BG→,GD→的坐标?解由于B(2,0),E(1,0),C(1,3),D(12,32),G(1,33),所以CE→=(1-1,0-3)=(0,-3),AG→=(1,33),BG→=(1-2,33-0)=(-1,33),GD→=(12-1,32-33)=(-12,36).题型二平面向量的坐标运算例2已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),求(1)AB→-AC→;(2)AB→+2BC→;(3)BC→-12AC→.解∵A(2,-4),B(0,6),C(-8,10).∴AB→=(0,6)-(2,-4)=(-2,10),AC→=(-8,10)-(2,-4)=(-10,14),BC→=(-8,10)-(0,6)=(-8,4).∴(1)AB→-AC→=(-2,10)-(-10,14)=(8,-4).(2)AB→+2BC→=(-2,10)+2(-8,4)=(-18,18).(3)BC→-12AC→=(-8,4)-12(-10,14)=(-3,-3).跟踪训练2已知a=(-1,2),b=(2,1),求:(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)12a-13b.解(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).(3)12a-13b=12(-1,2)-13(2,1)=-12,1-23,13=-76,23.题型三平面向量坐标运算的应用例3已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若AP→=AB→+λAC→(λ∈R),试求λ为何值时,(1)点P在一、三象限角平分线上;(2)点P在第三象限内.解设点P的坐标为(x,y),则AP→=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),AB→+λAC→=(5,4)-(2,3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).∵AP→=AB→+λAC→,∴x-2=3+5λ,y-3=1+7λ,则x=5+5λ,y=4+7λ.(1)若P在一、三象限角平分线上,则5+5λ=4+7λ,∴λ=12.(2)若P在第三象限内,则5+5λ0,4+7λ0,∴λ-1.∴λ=12时,点P在第一、第三象限角平分线上;λ-1时,点P在第三象限内.跟踪训练3已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7),(4,6),(1,-2),求第四个顶点的坐标.解不妨设A(3,7),B(4,6),C(1,-2).第四个顶点为D(x,y).则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形.(1)当平行四边形为ABCD时,AB→=DC→,设点D的坐标为(x,y),∴(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y),∴1-x=1,-2-y=-1,∴x=0,y=-1.∴D(0,-1);(2)当平行四边形为ABDC时,仿(1)可得D(2,-3);(3)当平行四边形为ADBC时,仿(1)可得D(6,15).综上所述,第四个顶点的坐标可能为(0,-1),(2,-3)或(6,15).坐标法解决向量问题例4已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设OA→=a,OB→=b,OC→=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a,b表示c.分析注意到两个已知的特殊角,联想到建立直角坐标系求向量坐标.解如图,以O为原点,OA→为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,由三角函数的定义,得B(cos150°,sin150°),C(3cos240°,3sin240°).即B(-32,12),C(-32,-332),又∵A(2,0),故a=(2,0),b=(-32,12),c=(-32,-332).设c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),∴(-32,-332)=λ1(2,0)+λ2(-32,12)=(2λ1-32λ2,12λ2),∴2λ1-32λ2=-32,12λ2=-332,∴λ1=-3,λ2=-33.∴c=-3a-33b.1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于()A.(7,3)B.(7,7)C.(1,7)D.(1,3)2.已知向量OA→=(3,-2),OB→=(-5,-1),则向量12AB→的坐标是()A.-4,12B.4,-12C.(-8,1)D.(8,1)3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC→=2AD→,则顶点D的坐标为()A.2,72B.2,-12C.(3,2)D.(1,3)4.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,则m+n=________.5.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,求向量d.一、选择题1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量12a-32b等于()A.(-2,-1)`B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)2.已知a-12b=(1,2),a+b=(4,-10),则a等于()A.(-2,-2)B.(2,2)C.(-2,2)D.(2,-2)3.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为()A.-2,1B.1,-2C.2,-1D.-1,24.已知M(3,-2),N(-5,-1)且MP→=12MN→,则点P的坐标为()A.(-8,1)B.1,32C.-1,-32D.(8,-1)5.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若AB→=(2,4),AC→=(1,3),则BD→等于()A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)6.向量AB→=(7,-5),将AB→按向量a=(3,6)平移后得向量A′B′→,则A′B′→的坐标形式为()A.(10,1)B.(4,-11)C.(7,-5)D.(3,6)二、填空题7.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB→同方向的单位向量为________.8.已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则12AC→-14BC→的坐标是________.9.已知A(-1,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),且AC→=2BD→,则x+y=________.10.已知四边形ABCD为平行四边形,其中A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则顶点D的坐标为________.三、解答题11.已知a=(2,1),b=(-1,3),c=(1,2),求p=2a+3b+c,并用基底a、b表示p.12.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且|AP→|=2|PB→|,求点P的坐标.13.已知点A(-1,2),B(2,8)及AC→=13AB→,DA→=-13BA→,求点C、D和CD→的坐标.当堂检测答案1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于()A.(7,3)B.(7,7)C.(1,7)D.(1,3)2.已知向量OA→=(3,-2),OB→=(-5,-1),则向量12AB→的坐标是()A.-4,12B.4,-12C.(-8,1)D.(8,1)3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC→=2AD→,则顶点D的坐标为()A.2,72B.2,-12C.(3,2)D.(1,3)4.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,则m+n=________.5.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,求向量d.课时精练答案一、选择题1.答案D2.答案D3.答案D解析由λ1+2λ2=3,2λ1+3λ2=4.解得λ1=-1,λ2=2.4.答案C解析设P(x,y),由(x-3,y+2)=12×(-8,1),∴x=-1,y=-32.5.答案B解析∵AC→=AB→+AD→,∴AD→=AC→-AB→=(-1,-1).∴BD→=AD→-AB→=(-3,-5).6.答案C解析A′B′→与AB→方向相同且长度相等,故A′B′→=AB→=(7,-5).二、填空题7.答案35,-45解析∵AB→=OB→-OA→=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),∴与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|=35,-45.8.答案(-3,6)9.答案112解析∵AC→=(-2,0)-(-1,-2)=(-1,2),BD→=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),又2BD→=AC→,即(2x-4,2y-6)=(-1,2),∴2x-4=-1,2y-6=2,解得x=32,y=4,∴x+y=112.10.答案(7,-6)解析设D(x,y),由AD→=BC→,∴(x-5,y+1)=(2,-5).∴x=7,y=-6.三、解答题11.解p=2a+3b+c=2(2,1)+3(-1,3)+(1,2)=(4,2)+(-3,9)+(1,2)=(2,13).设p=xa+yb,则有2x-y
本文标题:必修四平面向量的坐标运算(附答案)
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