信号与系统吴大正第四版第二章

主讲教师：陈哲云青岛理工大学计算机工程学院信号与系统第1-2页■电子课件第二章连续系统的时域分析2.1LTI连续系统的响应2.2冲激响应和阶跃响应2.3卷积积分2.4卷积积分的性质信号与系统第1-3页■电子课件2.1LTI连续系统的响应•微分方程的经典解•零输入响应与零状态响应•全响应信号与系统第1-4页■电子课件一、微分方程的经典解微分方程的解：y(t)=yh(t)+yp(t)其中，y(t):完全解。yh(t):齐次解。由微分方程的特征根确定。yp(t):特解。与激励函数的形式有关。信号与系统第1-5页■电子课件不同特征根对应的齐次解tetrrrreCtCtCtC)(012211jDCAetAtDtCejt其中或),cos()]sin()cos([trrrrrretAttAttA)]cos()cos()cos([00222111r重共轭复根一对共轭复根r重实根单实根特征根λ和齐次解yh(t)信号与系统第1-6页■电子课件不同激励对应的特解信号与系统第1-7页■电子课件例2.1-1：描述某LTI系统的微分方程为求输入时的全解。解：齐次解yh(t)齐次解是齐次微分方程的解。其特征方程为：其特征根则微分方程的齐次解为：()5()6()()ytytytft()2,0;(0)2,(0)1tftetyy()5()6()0ytytyt25601223，2312()tthytCeCe信号与系统第1-8页■电子课件特解yp(t)：当时，其特解可设为：将特解代入微分方程中：整理得：所以微分方程的特解为：则微分方程的全解为：()2tfte()tpytPe()5()6()()pppytytytft(),tpytPe(),tpytPe(),tpytPe()2,tfte,265PPP1P故()tpyte2312()()()ttthpytytytCeCee信号与系统第1-9页■电子课件其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解信号与系统第1-10页■电子课件二、零输入响应和零状态响应1、定义：（1）零输入响应yzi(t)：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应。（2）零状态响应yzs(t)：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应。LTI的全响应：y(t)=yzi(t)+yzs(t)信号与系统第1-11页■电子课件2、零输入响应解法（1）即求解对应齐次微分方程的解。（2）求yzi(t)的基本步骤①求系统的特征根，写出yzi(t)的通解表达式。比如，若特征方程的根为n个单根，则通解为②由于激励为零，所以零输入的初始值：③利用初值确定出积分常数C1，C2，…，Cn，代入通解表达式，即得yzi(t)。tnttzineCeCeCty...)(2121信号与系统第1-12页■电子课件3、零状态响应（1）即求解对应非齐次微分方程的解。（2）求yzs(t)的基本步骤①求系统的特征根，写出的通解表达式yzsh(t)。②根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yzsp(t)③求初值：若方程右边无冲激函数及其各阶导数，则其初值为否则，根据冲激函数匹配法求得，确定积分常数C1，C2，…，Cn④写出零状态响应表达式()(0)jzsyzshzsp()()().zsytytyt()(0)0,0,1,...,1jzsyjn信号与系统第1-13页■电子课件4.关于0-和0+初始值（1）0－状态和0＋状态–0－状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的；–0＋状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。（2）从0－状态到0＋状态的跃变–系统的初始值从0－状态到0＋状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。若初值发生跃变，由0－状态求0＋状态的值，可用冲激函数匹配法。信号与系统第1-14页■电子课件5.冲激函数匹配法目的：用来求解初始值，求（0＋）和（0－）时刻值的关系。应用条件：如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－）时刻的值。原理：利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数应该平衡的原理来求解（0＋）信号与系统第1-15页■电子课件例2.1-2：描述某系统的微分方程为已知求该系统的零输入响应，零状态响应和全响应。()3()2()2(t)6f(t)ytytytf(0)2,(0)2,()()yyftt信号与系统第1-16页■电子课件解：（1）零输入响应。设零输入响应yzi(t),激励为0，初值为根据特征根求得通解为：212()ttziytCeCe1202CC()2,0tziytet解得系数为代入得ziziy(0)y(0)2,y(0)y(0)2信号与系统第1-17页■电子课件（2）零状态响应。先求初值。将f(t)=ε(t)代入方程得由冲激函数匹配法知，应包含，从而在t=0处将发生跃变，即。但不含冲激函数，否则将含有项。由于中不含δ(t)，故yzs(t)在t=0处是连续的。故yzs(0+)=yzs(0-)=0。()t2()t()3()2()2(t)6(t)(1)zszszsytytyt()zsyt()zsyt(0)(0)zszsyy()zsyt()zsyt()zsytz(0)(0)szsyy和信号与系统第1-18页■电子课件由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0连续，故对式(1)两端积分有于是由上式得因为yzs(0+)=yzs(0-)，所以0000000000()3()2()2()6()zszszsytdtytdtytdttdttdt[y(0)y(0)]3[y(0)y(0)]2zszszszsy(0)=y(0)+2y(0)y(0)2,=2zszszszs0000()0,()0,zsytdttdt信号与系统第1-19页■电子课件再求零状态响应。对t0时，有不难求得其齐次解为Czs1e-t+Czs2e-2t，其特解为常数3，于是有yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求得yzs(t)=–4e-t+e-2t+3，t0（3）全响应y(t)=yzi(t)+yzs(t)=-2e-t+e-2t+3,t0()3()2()6zszszsytytyt信号与系统第1-20页■电子课件•各种响应用初始值确定积分常数–在经典法求全响应的积分常数时，给的是0＋状态初始值。–在求系统零输入响应时，用的是0－状态初始值。–在求系统零状态响应时，用的是0＋状态初始值，这时的零状态是指0－状态为零。确定0－和0+之间的关系，决定于方程右端是否含有冲激函数或其导数。信号与系统第1-21页■电子课件三、全响应全响应=自由响应＋强迫响应=零输入响应＋零状态响应信号与系统第1-22页■电子课件一．冲激响应1．定义系统在单位冲激信号δ(t)作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。2.2冲激响应和阶跃响应HtutgLTI系统{x(0)}={0})(t)(th信号与系统第1-23页■电子课件例2.2-1描述某系统的微分方程为求其冲激响应h(t)。解：根据h(t)的定义有（1）先求。()5()6()f(t)ytytyth()5()6()(t)ththth(0)h(0)0h(0)h(0)和h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得因方程右端有δ(t)，故利用冲激匹配法。中含δ(t)，h()th(0)h(0)所以00[h(0)(0)]5[(0)(0)]6(t)dt1hhhhh(0)1h(0)1即信号与系统第1-24页■电子课件（2）再求冲激响应。由δ(t)的性质知，对t0时，有故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)ε(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)h()5()6()0ththt信号与系统第1-27页■电子课件例2.2-2：设描述某二阶LTI系统的微分方程为求其冲激响应。解：选新变量y1(t)，其冲激响应为h1(t),满足方程设其冲激响应为h1(t),则原方程的冲激响应为由于所以()5()6()()2()3()ytytytftftft111()5()6()()ytytytft111()()2()3()hthththt231()()()tthteet11123()()2()3()(36)()-t-ththththtδ(t)e-et信号与系统第1-28页■电子课件二．阶跃响应1．定义系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。HtutgLTI系统{x(0)}={0})(t)(tg信号与系统第1-31页■电子课件例2.2-3：如图所示的LTI系统，求其阶跃响应。解：由得系统的微分方程为：)(tf)(ty32)(tx)(tx)(tx21)(2)(()(2)(3)()(txtxtytxtxtxtf）)(2)()(2)(3)(tftftytyty信号与系统第1-32页■电子课件解：选新变量y1(t),其阶跃响应为，满足方程：其特征根，其特解为0.5，于是得：又根据0-状态求得0+状态值得：解得：得：系统的阶跃响应为：1()gt11111()3()2()()(0)(0)0gtgtgttgg2,1212112()(0.5)()ttgtCeCet11(0)(0)0gg5.0,121CC21()(0.50.5)()ttgteet112()()2()321)()ttgtgtgteet（信号与系统第1-33页■电子课件例2.2-4已知描述系统的微分方程、输入f(t)和初始条件为：()4()3()()(0)2,y(0)1,f(t)(t)ytytytfty1y(0)y(0);2)求：）和系统的零输入响应和零状态响应；3)系统的冲激响应和阶跃响应；4)系统的全响应。信号与系统第1-34页■电子课件解：1）方程右边无冲激函数，所以初始值在t=0时刻均不发生跳变，故y(0+)=y(0-)=2,y’(0+)=y’(0-)=1.2)系统的零输入响应yzi(t)满足方程yzi’’(t)+4yzi’(t)+3yzi(t)=0,且yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=2yzi’(0+)=yzi’(0-)=y’(0-)=1零状态响应yzs(t)满足方程yzs’’(t)+4yzs’(t)+3yzs(t)=f(t),yzs(0-)=yzs’(0-)=0，yzs(0+)=yzs’(0+)=0373(),022ttziyteet3111()()()263ttzsyteet信号与系统第1-35页■电子课件3)系统的冲激响应h(t)满足方程h’’(t)+4h’(t)+3h(t)=δ(t)h(0-)=h’(0-)=0，h’(0+)=1，h(0+)=0系统的阶跃响应：3