二次函数教案-人教版(精美教案)

《二次函数》教案Ⅰ．背景材料维纳的故事维纳（～年）是最早为美洲数学赢得国际荣誉的大数学家，关于他的轶事多极了．维纳早期在英国，后来赴美国麻省理工学院任职，长达年．他是校园中大名鼎鼎的人物，人人都想与他套点近乎．有一次一个学生问维纳怎样求解一个具体问题，维纳思考片刻就写出了答案．实际上这位学生并不想知道答案，可是问他“方法”．学生说：“可是，就没有别的方法了吗？”思考片刻，他微笑着随即写出了另一种解法．维纳最有名的故事是有关搬家的事．一次维纳乔迁，妻子熟悉维纳的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他．她还找了一张便条，上面写着新居的地址，并用新居的房门钥匙换下旧房的钥匙．第二天维纳带着纸条和钥匙上班去了．白天恰有一人问他一个数学问题，维纳把答案写在那张纸条的背面递给人家．晚上维纳习惯性地回到旧居．他很吃惊，家里没人，从窗子望进去，家具也不见了，掏出钥匙开门，发现根本对不上齿．于是使劲拍了几下门，随后在院子里踱步．突然发现街上跑来一小女孩，维纳对她讲：“小姑娘，我真不走运．我找不到家了，我的钥匙插不进去．”小女孩说道：“爸爸，没错，妈妈让我来找你．”有一次维纳的一个学生看见维纳正在邮局寄东西，很想自我介绍一番．在麻省理工学院真正能与维纳直接说上几句话、握握手，还是十分难得的．但这位学生不知道怎样接近他为好．这时，只见维纳来来回回踱着步，陷于深思之中．这位学生更担心了，生怕打断了先生的思维，而损失了某个深刻的数学思想．但最终还是鼓足勇气，靠近这个伟人：“早上好，维纳教授！”维纳猛地一抬头，拍了一下前额，说道：“对，维纳！”原来维纳正欲往邮签上写寄件人姓名，但忘记了自己的名字……悟与问：维纳教授在生活上是如此健忘，在数学上却取得了非凡的成绩，这是为什么？Ⅱ．课前准备一、课标要求．经历探索二次函数和＋的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．．会作出和＋的图象，并能比较它们与的异同，理解与对二次函数图象的影响．．能说出＋与图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．二、预习提示．关键原理：掌握＋中，与对二次函数图象的影响；以及，与＋的开口方向，对称轴和顶点坐标．．预习方法提示：作出，＋的图象，观察的异同，由图象研究其函数的特点，结合图象掌握性质．三、预习效果反馈．一般形式的二次函数＋＋（≠），当时，为＋的形式；当时，即为的形式．．二次函数＋图象的对称轴为，顶点坐标为，我们可以理解为沿向平移了个单位长度．．二次函数，与－的图象形状相同，对称轴都是轴，顶点都是，只是不同，它们的图象关于对称．．二次函数中，不仅可以决定开口方向，也决定．Ⅲ．课堂跟讲一、背记知识随堂笔记．二次函数的对称轴为，顶点为．当＞时，开口向；当时，有最小值；在对称轴的侧，则时，随的增大而；在对称轴的侧，即时，随的增大而．当＜时，开口向；当时，有最大值；在对称轴的左侧，即时，随的增大而；在对称轴的右侧，即时，随的增大而．．二次函数＋的图象与的图象形状相同，即开口大小方向一致，但在坐标系中的不同，也不同，二次函数＋的顶点为．如果＞，＋，可以由沿轴向平移c个单位长度得到．如果＜，＋可以由沿轴向平移c个单位得到．二、教材中“？”解答．问题（）解答：首先汽车的速度≥，其次一般说来，每辆汽车都有其最高时速，因此不能任意取值，一般应不小于，不大于其最高时速．．问题（）解答：（）1001和501的图象都位于轴的右侧，函数值都随的增大而增大，都经过原点．不同之处，501的图象在1001的图象的内侧，说明501的函数值的增长速度比较快．（）．可以通过计算501×－1001×（）得到，也可以由观察图象得到．．做一做（）解答：（）表格中的数可以是：－，－，－，，，，；，，，，，，．（）略．（）二次函数的图象是一条抛物线，它与二次函数的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标都相同；不同之处是：的图象在的图象的内侧，说明函数值的增长速度较快．二次函数开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为（，）．．议一议（）解答：（）二次函数＋的图象与二次函数的图象形状相同，开口方向，对称轴也都相同，但顶点坐标不同．＋也是轴对称图象，它的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为（，）．图象略，只要将的象沿轴向上平移个单位，就可得到＋的图象．（）二次函数－的图象与二次函数的图象形状相同，开口方向、对称轴也都相同，但顶点坐标不同．它也是轴对称图形，其开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为（，－）．实际上，只要将的图象向下平移个单位，就可以得到－的图象．三、重点难点易错点讲解重点：二次函数、＋的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数＋＋的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．难点：由函数图象概括出、＋的性质．函数图象都由（）列表，（）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．易错点：本节的易错点是忽略＋＋中的条件≠，或分析问题不全面等．只有真正理解二次函数的定义和性质才能避免类似错误．【例】已知抛物线（＋）mm2开口向下，求的值．错解：∵抛物线开口向下∴＋＜．∴＜－．错解分析：考虑不够全面，只考虑－＜，忽略抛物线是二次函数的图象，自变量的次数为，还应具备＋．【例】为何值时，（＋）622kk是关于的二次函数？错解：根据题意，得－－．解得，－．∴当或－时，（＋）622kk是二次函数．错解分析：忽略了中的隐含条件≠．四、经典例题精讲（一）教材变型题【例】在同一坐标系中，作出函数①－，②，③21，④－21的图象，并根据图象回答问题：（）当时，21比大（或小）多少？（）当－时，－21比－大（或小）多少？解：图象略．（）时，据图象21；时，据图象．21比的函数值小．（）－时，据图象（也可由函数式计算）－21－；－时，据图象（也可计算）－－．－21比－的函数值大．（二）学科内综合题【例】已知直线－＋与抛物线相交于、两点，且点坐标为（－，）．（）求、的值；（）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（）取何值时，二次函数中的随的增大而减小；（）求、两点及二次函数的顶点构成的三角形的面积．思维入门指导：待定系数法求表达式，及的性质和三角形面积综合知识的应用．（）∵，∴抛物线的表达式为，其对称轴为轴，顶点为（，）．（）∵＞，对称轴为轴，∴当＜时，随的增大而减小．∵点为（－，），∴点为（，）．如图2-3-1，作⊥轴于点，则，，．则梯形21（＋）·21（＋）·，△21··227，△21··21，△梯形－△－△－227－21．点拨：①两个函数的图象相交，用它们的表达式联立方程组可求出图象的交点坐标．②在坐标系中，非直角三角形的面积可以用分割，或用可求的图形面积的和差，求出面积．如本题，直线与轴交点设为，也可用△△－△的方法．（三）应用题【例】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为，拱顶距离水面．（）在如图2-3-2所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（）在正常水位的基础上，当水位上升（）时，桥下水面的宽度为（），求出将表示为的函数表达式；（）设正常水位时桥下的水深为，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．思维入门指导：建立坐标系，确定某些点的坐标为突破口．解：（）∵抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点为原点，∴设抛物线表达式为．由题意可知点的坐标为（，－），则把，－代入得－，∴－251．∴抛物线的表达式为－251．（）当水位上升时，水面与抛物线一交点的纵坐标为－．把－代入－251中，得（－），∴±h4．∴桥下水面宽为h4（）．（）当水面宽度为时，h4．解得．（），∴水深将达到的高度为＋．．（）．∴当水深超过．时，就会影响船只顺利航行．答：略．点拨：根据题意首先将实际问题转化为数学模型，即转化为二次函数关系，然后利用二次函数的知识来解决问题．【例】吉林省某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图2-3-3），大门的地面宽度为米，两侧距离地面米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为米，则校门的高为（）（精确到．米，水泥建筑物的厚度忽略不计）．．米．．米．米．．米思维入门指导：适当建立坐标系，确定表达式及点、坐标．点拨：适当建立坐标系，建立二次函数关系，将实际问题转化为数学问题．（四）创新题【例】抛物线经过点（－，），不求的大小，判断抛物线是否经过点（，）和点（，－）？思维入门指导：不解，可从抛物线性质入手．解：∵的坐标为（－，），∴抛物线的开口向上，即图象都在轴的上方．由抛物线关于轴对称可知点关于轴对称点（，），即点也在抛物线上，抛物线经过点．∵抛物线在轴上方，∴不可能经过第四象限的点（，－），∴抛物线不经过点．点拨：特殊点应用特殊解法．（五）中考题【例】（，武汉，分）若二次函数＋，当取，（≠）时函数值相等，则当取＋时，函数值为（）．＋．－．－．答案：点拨：由二次函数＋关于轴对称，可知、时函数值相等，∴、互为相反数，即＋．当取时，代入＋，得．本题巧妙的应用了函数的对称性．【例】（，甘肃，分）已知关于的函数表达式为21（为正常数，为时间），则函数图象为图2-3-5中的（）答案：点拨：21，为正常数，为时间，＞，21＞，为的二次函数．Ⅳ．当堂练习（分钟）．直线与抛物线－的两个交点的坐标分别是（）．（，），（，）．（，），（－，－）．（－，－），（，）．（－，－），（－，－）．若二次函数（≠）的图象过点（，－），则函数表达式为．．抛物线－91－的顶点坐标是，对称轴是，开口方向是．若点（，－）在其图象上，则的值是．【同步达纲练习】Ⅴ．课后巩固练习（分分钟）一、基础题（～题每空分，～题每题分，题分，共分）．抛物线－－的开口向，当时，有最值，．．当时，（－）mm2－是关于的二次函数．．抛物线－上两点（，－），（，），则，．．当时，抛物线（＋）mm2＋开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，随的增大而；在对称轴右侧，随的增大而．．抛物线与直线＋的交点为（，），则，．．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且经过点（－，－），则抛物线的表达式为．．在同一坐标系中，图象与的图象关于轴对称的是（）．21．－21．－．－．抛物线，，－的图象，开口最大的是（）．41．．－．无法确定．对于抛物线31和－31在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）．两条抛物线关于轴对称．两条抛物线关于原点对称．两条抛物线关于轴对称．两条抛物线的交点为原点．二次函数与一次函数＋在同一坐标系中的图象大致为（）．已知函数的图象与直线－＋在第一象限内的交点和它与直线在第一象限内的交点相同，则的值为（）．．．21．41．求符合下列条件的抛物线的表达式：（）经过（，）；（）与21的开口大小相等，开口方向相反；（）与直线21＋交于点（，）．二、学科内综合题（分）．如图2-3-7，直线ι经过（，），（，）两点，且与二次函数＋的图象，在第一象限内相交于点．求：（）△的面积；（）二次函数图象顶点与点、组成的三角形的面积．三、学科间综合题（分）．自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间（）和下落的距离（）的关系是．．求：（）一高空下落的物体下落时间时下落的距离；（）计算物体下落，所需的时间．（精确到．）四、应用题（题分，题分，题分，共分）．已知一个正方形的周长为ι，面积为．（）求与ι之间的函数表达式；（）画出函数图象；（）随ι的增大怎样变化？．如图2-3-8，一座拱桥为抛物线，其函数表达式为－41．当水位线在位置时，水面宽，这时水面离桥顶的高度是（）．．6．3．．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位时宽．水位上升，就达到警戒线，这时，水面宽度为．（）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；（）若洪水到来时，水位以每小时．的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？五、创新题（分）（一）动态题．如图2-3-10，在矩形中，，．是上一动点，动点在或其延长线上，，以为一边的正方形，点从点开始沿射线方向运动．