专题--常见的全等模型

专题常见全等模型微专题五大常考全等模型模型一平移模型例1如图，已知BC∥EF，∠B＝∠DGC，点D、C在AF上，且AB＝DE.求证：AD＝CF.已知结论BC∥EF____________，____________∠B＝∠DGC________________∠F＝∠BCA∠E＝∠DGC∠E＝∠B例1题图证明：∵BC∥EF，∴∠F＝∠BCA，∠E＝∠DGC，∵∠B＝∠DGC，∴∠B＝∠E，又∵AB＝DE，∴△ABC△DEF(AAS)，∴AC＝DF，∵AD＋CD＝CD＋CF，∴AD＝CF.≌【自主作答】基本模型图示模型总结有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等1.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.(1)求证：△AED△EBC；≌(1)证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC，∵E是AB的中点，∴AE＝EB，∵∠AED＝∠B，∴△AED△EBC；≌(2)解：∵△AED△EBC，∴AD＝EC，又∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CD＝AE，∵AB＝6，AE＝AB，∴CD＝AB＝3.(2)当AB＝6时，求CD的长．1212≌模型二轴对称模型例2如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是三角形内一点，连接DA，DB，DC，若∠1＝∠2，则△ABD与△ACD全等吗？请说明理由．已知结论AB＝AC__________________∠1＝∠2DB＝DC，________________∠ABC＝∠ACB∠ABD＝∠ACD例2题图【自主作答】解：△ABD与△ACD全等．理由：∵∠1＝∠2，∴DB＝DC.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，∴∠ABD＝∠ACD，在△ABD和△ACD中，AB＝AC∠ABD＝∠ACDBD＝CD，∴△ABD△ACD(SAS)．≌基本模型图示模型总结所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等第2题图2.如图，点E、F在BC上，AB＝DC，∠B＝∠C，请补充一个条件：__________________________________________________，使△ABF△DCE.≌(或BF＝EC或∠A＝∠D或∠AFB＝∠DEC)BE＝CF模型三一线三等角型(K型)例3如图，B、C、D三点在同一直线上，∠B＝∠D＝∠ACE，AB＝CD.求证：△ABC△CDE.≌【分析】已知∠B＝∠D，AB＝CD，要证△ABC△CDE，只需证明∠A＝∠DCE即可．例3题图≌证明：∵∠B＝∠D＝∠ACE，∠ACE＋∠ACB＋∠DCE＝180°，∠B＋∠ACB＋∠A＝180°，∴∠A＝∠DCE，在△ABC和△CDE中，【自主作答】∠B＝∠DAB＝CD∠A＝∠DCE，∴△ABC△CDE(ASA)．≌图示模型总结三个等角(∠A＝∠CPD＝∠B)在同一直线上，称一线三等角模型(角度有锐角、钝角，若等角为直角称一线三垂直(见拓展模型)，利用三等角和三角形内角和找全等三角形所需的角相等的条件为∠1＝∠2.一线三等角的解题理念：有边相等证全等；无边相等证相似图示模型总结有三个直角，常利用同角(等角)的余角相等证明角相等3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且BP＝CD，∠APD＝∠B，若∠APB＝120°，则∠CDP的度数为()A.30°B.60°C.120°D.150°第3题图C第4题图4.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、C、F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为(3，0)，则点D的坐标为()A.(1，2.5)B.(1，1＋)C.(1，3)D.(－1，1＋)333C5.如图，A、B、C是直线l上的三个点，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB，且BD＝BE.求证：AC＝AD＋CE.第5题图证明：∵∠DAB＝∠DBE，∴∠ADB＋∠ABD＝∠CBE＋∠ABD.∴∠ADB＝∠CBE.在△ADB和△CBE中，∠ADB＝∠CBE∠DAB＝∠BCEDB＝BE，∴△ADB△CBE(AAS)．∴AD＝CB，AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE.≌模型四旋转模型类型一不共顶点旋转模型例4如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，CE∥BF，AB＝CD.求证：△EAC△FDB.≌已知结论AE∥DF____________CE∥BF__________________AB＝CDAB＋BC＝BC＋CD⇨______________∠A＝∠D∠ACE＝∠DBFAC＝BD例4题图图示模型总结所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕中心对称点旋转180°，则可得到另一个三角形，两三角形有一组边共线，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等类型二共顶点旋转模型(手拉手模型)例5如图，四边形ABCD中，点E为AD上一点，∠BAE＝∠BCE＝90°，且BC＝CE，AB＝DE.求证：△ABC△DEC.≌【分析】题干已知BC＝CE，AB＝DE，∠BAE＝∠BCE＝90°，要证△ABC△DEC，只需证明∠B＝∠CED即可．≌例5题图【自主作答】证明：∵∠BAE＝∠BCE＝90°，∴∠B＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＋∠DEC＝180°，∴∠DEC＝∠B，在△ABC和△DEC中，AB＝DE∠B＝∠DECBC＝EC，∴△ABC△DEC(SAS)．≌图示1(无重叠)图示2(有重叠)模型总结此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角注：遇到共顶点，等线段，考虑用旋转6.如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为()第6题图A.30°B.35°C.40°D.50°C模型五半角模型例6如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°.当EF＝6时，△AEF的面积是()A.8B.16C.24D.32例6题图【分析】要求△AEF的面积，可将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，从而得到△AEF和△AEH全等，再根据全等三角形的面积相等即可求解．C图示等边三角形含半角(∠BDC＝120°)等腰直角三角形含半角图示正方形含半角模型总结当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等7.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M、N在边BC上，且∠MAN＝60°，若BM＝2，CN＝3，则MN的长为()第7题图A.B.C.D.723225A