八上11.2.1三角形的内角

新人教版-八年级（上）-数学-第十一章11.2.1三角形的内角学习目标11.掌握三角形内角和定理及其推论2.会用添加辅助线的方法进行证明3.灵活运用三角形内角和定理重点：1、能用多种方法证明三角形内角和定理2、会在证明中添加合适的辅助线。三角形两边的夹角叫做三角形的内角三角形的内角在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度?想一想:任意三角形的三个内角之和也为180度吗?30+60+90=18045+45+90=180思考与探索把三个角拼在一起试试看三角形的内角和是180度。方法一：ABC演示下一页123方法二:将各角沿着一边所在的直线折叠如果△ABC是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把∠A、∠B撕下来再分别放在∠1、∠2的位置上，那么又如何论证∠A+∠B+∠C=180゜呢？ABC12DE21EDCBA三角形的内角和等于1800.延长BC到D，于是CE∥BA(内错角相等，两直线平行).∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，证法一(等量代换)21EDCBA三角形的内角和等于1800.延长BC到D，过C作CE∥BA，∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°证法二(等量代换)F21ECBA三角形的内角和等于1800.过A作EF∥BC，∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°证法三(等量代换)CBEA三角形的内角和等于1800.过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°证法四(等量代换)在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.思路总结三角形内角和定理:三角形的内角和等于1800.即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:∠A=1800–(∠B+∠C).∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.三种语言☞ABCCBA2.推论：直角三角形中，两锐角互余。•即在直角△ABC中，若∠C=90°，•则∠A+∠B=90°。定理应用三角形的三内角和是180º，所以三内角可能出现的情况：一个钝角两个锐角钝角三角形锐角三角形一个直角两个锐角直角三角形三个都为锐角钝角三角形直角三角形锐角三角形(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?（2）60°，40°，90°（3）30°，60°，50°（1）3°，150°，27°（是）（不是）（不是）巩固练习已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,由三角形内角和为180°得x+3x+5x=180°解得x=20°所以三个内角度数分别为20°,60°,100°。（1）在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°∠C=.（2）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4则∠A=___∠B=∠C=.（3）∠A：∠B：∠C=3：2：1，问△ABC是___三角形.（4）∠A－∠C=35°∠B－∠C=10°，则∠B=？（5）一个三角形中最多有个直角，最多有___个钝角，最多有__个锐角，至少有个锐角。（6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为.应用新知7.在△ABC中，若∠A+∠B=2∠C，则∠C=。8.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是（）9、如图：∠α=。320440α480ABC已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A,BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。D解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0∴x＋2x＋2x＝180（三角形内角和定理）解得x＝36∴∠C＝2×360＝720∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理）在△BDC中，∵∠BDC＝900(三角形高的定义）∴∠DBC＝180?例题讲解1如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求下面各题.（1）∠DAC＝_____∠DAB＝______∠EBC＝_______∠CAB＝______A(2)从C岛看A、B两岛的视角∠C是多少?50°80°40°DBCE北北解：∵AD∥BE∴∠DAB﹢∠ABE＝180°∴∠ABE＝180°－∠DAB＝180°－80°＝100°在△ABC中,∠C＝180°－∠CAB－∠ABC＝180°－30°－60°＝90°∴∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE30°＝100°﹣40°＝60°例题讲解2方法一DCE北A50°B40°北MN在△AMC中∠AMC=90°,∠MAC=50°解：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N12方法二∴∠1=180°-90°-50°=40°∵AD∥BE∴∠AMC+∠BNC=180°∴∠BNC=90°同理得∠2=50°∴∠ACB=180°-∠1-∠2=180°-40°-50°=90°BDCE北A你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？1250°40°解：过点C画CF∥AD∴∠1＝∠DAC＝50°,F∵CF∥AD,又AD∥BE∴CF∥BE∴∠2＝∠CBE＝40°∴∠ACB＝∠1﹢∠2＝50°﹢40°＝90°方法三解：在△ACD中∠CAD＝30°∠D＝90°DABC∴∠ACD=180°-30°-90°=60°在△BCD中∠CBD=45°∠D＝90°∴∠BCD=180°-90°-45°=45°∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°巩固练习1.如图,从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°,从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、B两处时视角∠ACB是多少?2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()③②①(A)带①去(B)带②去(C)带③去(D)带①和②去C巩固练习3.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是()A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形4.一个三角形至少有（）A、一个锐角B、两个锐角C、一个钝角D、一个直角BB巩固练习5.如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠A＝70°,∠ADE＝50°,求∠BDC的度数.ABCDE解:∵∠A＝70°∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°∵DE//BC∴∠B=∠ADE＝50°∵CD平分∠ACB30602121ACBDCBDCBBBDC1801003050180巩固练习证明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）∵∠C=700（已知）∴∠AED=700（等量代换）∵∠A+∠AED+∠ADE=1800（三角形的内角和定理）∠A=600（已知）∴∠ADE=1800—600—700=500（等量代换）即∠ADE=500DCBAE（第1题）6、已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700.求证：∠ADE=5007、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结PB、PD，交CD于E点。则∠B、∠D、∠P之间是否存在一定的大小关系？ABCPDE他们是怎样的，并加以证明？甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？甲乙16米450？45016米解:由题意知ABC45,90ACBABCACBABCBAC180459018045∴BC=AB=16答:两楼的距离是16米.拓展与思考12、在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ=∠B=∠C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？2131解:设∠A=x°,那么∠B=2x°,∠C=3x°根据题意得:18032xxx解得30x∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°所以△ＡＢＣ是直角三角形拓展与思考2小结1、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°2、由三角形内角和等于180°，可得出(1)推论：直角三角形中，两锐角互余；(2)一个三角形最多有一个直角、一个钝角、三个锐角，最少有两个锐角；(3)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°3、三角形按角分类：斜三角形三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形