信号分析的基本方法

2020/9/71第二章信号分析的基本方法2.1信号基础2.2确定信号的分析2.3随机信号2.4信号通过线性系统2020/9/722.1信号基础2.1.1信号表示2.1.2信号分类信号是信息的载体。人们必须对所获得的信号进行分析和处理，才能得到其中的信息。2020/9/732.2确定信号的分析•一般说来，信号分析就是将（复杂）信号分解为若干简单分量的叠加，并以这些分量的组成情况对信号特性进行考察。对信号进行分析的方法通常有两类：时域分析和频域（谱）分析。•其中时域分析以波形为基础，这里不详细展开。频域分析则将时域信号变换到频域中进行分析，最基本的方法是将信号分解为不同频率的余（正）弦分量的叠加，即利用傅里叶变换（级数）进行分析。2020/9/742.2.1傅里叶级数与傅里叶变换2.2.2功率（能量）谱2.2.3时域抽样信号和抽样定理2.2.4相关函数2020/9/752.1.1信号表示1.时域表示2.频域表示2020/9/76时域表示•信号是随时间变化的物理量（电、光、声等），可以用函数解析式描述，也可表示为图形（波形图）。•如余弦信号是一种非常简单的信号，其函数解析式可以描述为：000costAtx（2.1）2020/9/77•从中可以看到体现了信号的特征三个参数——幅度0A、角频率0和相位0。•其波形图则如2.1所示。2020/9/78图2.1余弦信号波形000costAtx0Atxt2020/9/79•客观存在的信号都是实数函数，但为了方便数学上的分析和处理，人们也常常用复数形式来表示这些信号。•如式（2.1）的余弦信号也可表示成式（2.2）的复数形式：2020/9/710tjjtjeeAeAts000000（2.2）上述复数表示也同样具有0A、0、0它们体现出信号变化的规律。三个参数，2020/9/711•复数（信号）ts的实部就是实信号tx，即：tstxRe（2.3）2020/9/712频域表示•对余弦波而言，三个参数如能确定的话，函数或者波形就能唯一确定了。因此不妨考虑用如图2.2所示的方式来表示上述余弦波。2020/9/713图2.2余弦信号的频谱A000A000(a)幅度谱(b)相位谱2020/9/714•图2.2在新的坐标系（角频率或频率为横轴，，振幅和相位为纵轴）中，以两条线（甚至两个点就够了），表示了时域波形如图2.1所示的信号，或者说，表示了信号所有的特征信息（频率、幅度和相位）。这种表示法被称为频域表示，表示的结果叫做“频谱”，对应于振幅或者相位分别为幅度谱和相位谱。2020/9/715•上述正弦信号只有单一频率，因此其频谱只包含一根“线”（谱线），人们常称其为“单色”信号。而在大多数应用场合中，信号是由若干不同频率的单色信号叠加而成的，称为“复合”信号。从频域角度看，复合信号的频谱包含若干条甚至无数条谱线。如图2.3所示。注：极端情况下，相邻谱线足够接近时，频谱就可表示成连续的曲线了，原来分立的谱线于是简化为曲线中的一个个点（详见2.2.1）。2020/9/716图2.3复合信号与信号频带A0带宽2020/9/717•考察某个信号的所有单色成分，这些成分覆盖的频率范围，被形象地叫做“频带”。这个范围的大小，就是“带宽”——即频带宽度，如图2.3所示。带宽是衡量信号特性的一个重要指标。2020/9/718•频率和幅度对信号而言通常比相位具有更重要的意义。以声波信号为例：–频率小于20Hz时为次声波，人耳通常听不到，但声强（与信号幅度有关）足够大时，人可以感觉到；–频率在20Hz到20KHz之间时为声波，能够被人听到；–频率大于20KHz时为次声波，人无法听见，其方向性好，因此在测量中具有重要的应用价值。•因此，在信号的频域表示中，有时只使用幅度谱。2020/9/7192.1.2信号分类1．按信号的性质分2．按信号的自变量或函数取值分3．按信号的时间或频率定义范围分可以用多种方法对信号进行分类，以下是常见的三种方式：2020/9/720按信号的性质•可分为确定（性）信号和随机信号两类：–确定信号是指在相同的实验条件下，能够重复实现的信号。根据信号是否具有周期性，又有周期信号和非周期信号之分。–随机信号则是在相同的实验条件下，不能够重复的信号。2020/9/721按信号的自变量或函数取值•自变量多为时间，按照它的取值是否连续，可分为连续时间信号和离散时间信号。•在此基础上按照函数取值是否连续，常又分出模拟信号、抽（采）样信号、量化信号、数字信号等，具体分类和特点可参见表2.1及图2.4。•有时也仅以函数取值进行分类，将上述模拟信号和抽样信号统称为模拟信号，将数字信号和量化信号统称为数字信号。2020/9/722表2.1信号分类ttf自变量函数值信号分类连续（时间信号）连续模拟信号离散量化信号离散（时间信号）连续抽样信号离散数字信号2020/9/723图2.4各种信号ttf00(a)模拟信号(c)量化信号nT0(b)抽样信号tft531nTf531tn0(d)数字信号nf5312020/9/724按信号的时间或频率定义范围•在有限的时间区间内有定义，而在区间外为零，这类信号叫做时域有限信号，简称时限信号。矩形脉冲、正弦脉冲等信号都属这种类型。而周期信号、指数信号、随机信号等，则属于时域无限信号。2020/9/725•若信号的所有频率成分都局限在某个范围之中，那么这个信号则属于频域有限信号，简称频限信号。正弦信号、限带白噪声等都属于这种类型。而冲击函数、白噪声、理想采样信号等，则属于频域无限信号，他们的带宽无限宽。2020/9/726•在信号理论中，时域和频域之间存在着“对称性关系”——时限信号在频域上是无限信号，而频限信号又对应于时域无限信号。这种关系意味着一个信号不可能同时在时域和频域上都是有限的。2020/9/7272.2.1傅里叶级数与傅里叶变换1.傅里叶级数2.傅里叶变换2020/9/728傅里叶级数形式一•周期（为）信号可以表示为余（正）弦分量之和，即可记作如下（三角函数形式的）傅里叶级数：1000sincosnnntnbtnaatf（2.4）2020/9/729其中，T20ttfTaTTd1220ttntfTaTTndcos2022ttntfTbTTndsin20222020/9/730傅里叶级数形式二或者00cosnnntnctf（2.5）其中，22nnnbacnnnabarctan2020/9/731•这些分量可以直观地表示成类似图2.3的（实）频谱。2020/9/732欧拉公式推论•根据欧拉公式可知：tjntjneetn0021cos0tjntjneejtn0021sin02020/9/733傅里叶级数形式三•因此傅里叶级数还可以表示成以下指数形式：tjnnneFtf0（2.6）其中tetfTFtjnTTnd10222020/9/734•需注意的是，各分量的系数是复数，可表示成如下形式：njnneFF其中nF对应于幅度，n对应于相位。2020/9/735•因此周期信号或者说它的各分量系数可由如图2.5所示的（复）频谱进行表征。可以看到，复频谱除正频率分量外，还包括负频率分量。负频率的出现是数学运算（欧拉公式）的结果，并无物理意义。2020/9/736图2.5复频谱(a)nF0n000－02030402－t0cos两条谱线对应于(a)幅度谱2020/9/737图2.5复频谱(b)n0n000－02030402－(b)相位谱2020/9/738•频谱分幅（度）谱和相（位）谱两部分•前者呈偶对称，所有谐波分量的幅度（）都降为对应实幅谱（）的一半；后者呈奇对称，复谱与实谱的相位谱值相等。•复指数形式的傅里叶级数（对应于复频谱）是周期信号频域分析的最基本方法。0,nFnnC2020/9/739【例2-1】•【例2-1】试求图2.6所示的周期矩形脉冲信号的频谱。tft0......1TE图2.6周期矩形脉冲信号2020/9/740解上述信号在（）一个周期内可表示为：2211TtT22021TttEtf⑴展成三角函数形式的傅里叶级数根据式（2.4）可得2020/9/74111π2T12212210d1d111TEtETttfTaTT＝2222sin2dcos2111112211nSaTEnnTEttnETan＝0dsin22211＝ttnETbn)(tSa注:其中称为抽样函数，是信息系统研究中的重要函数之一。2020/9/742•因此，周期矩形信号的三角形式的傅里叶级数为tnnSaTETEtfn11111cos222020/9/743⑵展成指数形式的傅里叶级数根据式（2.6）可得2d1d1112212211111nSaTEtEeTtEeTFtjnTTtjnn＝ntjnjntjnneeFenSaTEtfn112112020/9/744其中：njnneFF211nSaTEFn0,π0,0nnnnFF其幅度谱和相位谱分别如图2.8所示。2020/9/745图2.8周期矩形脉冲信号复频谱nF1n01122n(a)幅度谱461n0(b)相位谱－1TE2020/9/746图2.8周期矩形脉冲信号复频谱nF1n0112(c)频谱61TE42包络为211nSaTE2020/9/747频谱特点分析⑶频谱特点分析1.离散谱11π2T无穷多个分量对应于无穷多条谱线，谱线间的离散间隔为基频，幅度随谐波阶次的增高以抽样函数规律衰减。2020/9/7482.谱零点带宽谱图中0nF的点，为谱零点。从图2.8中可见，第一个谱零点的位置在π21n，即包络函数（抽样函数）的第一个“过零点”。2020/9/749频谱中高频分量（幅度）的迅速衰减，使得信号的大部分能量（约占总量的90%）集中在第一个零点内的各频率分量上，也就是说，信号的大部分信息是由这些分量携带的。2020/9/750人们常将这一频率范围，称为（谱零点）带宽。这意味着在允许一定失真的条件下，可以让通信系统只传输内的分量，舍弃其他的高频成分。π2~0bb2020/9/7513.时域参数对频谱的影响时域参数主要包括：信号幅度E、信号周期1T和脉冲宽度。信号幅度对频谱的特性影响不大。由于谱间隔为11π2T，另外11TCn，所以当1T增大时，谱线间隔会变密，而谱的幅度2020/9/752会减小。极端情况下，若1T，周期函数转换为非周期函数，这时离散频谱将成为连续频谱，分量幅值趋于无穷小。2020/9/753由于π2b，当增大时，带宽b减小，减小时，b增大。这反映了一个普遍的规律：时域上压缩（减小），频域上展宽（b增大），反之也成立。考虑一个极端情况，若0，即矩形脉冲变成冲击函数，则b，频谱的高阶谐波分量不衰减，成为2020/9/754所谓的白色谱，参见3.3.2。另外，根据nC1TECn，当增大时，nC增大，减小nC也减小，这与能量守恒定律相吻合。2020/9/755傅里叶变换与反变换•非周期信号指那些维持一段时间便不再重复出现的信号。对非周期信号进行频域分析的一般思路是：周期信号的频谱在时的极限，就变为非周期信号的频谱，相应的变换为傅里叶变换，简称傅氏变换。1T2