4向量组的线性相关性

CH4向量组的线性相关性向量组的线性相关性n维向量的概念向量组的线性相关性线性相关性的判别定理向量组的秩向量空间§1N维向量的概念1、定义ｎ个数组成的有序数组12,,,naaa称为一个ｎ维向量，其中称为第个分量（坐标）.iaiｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，12naaa如：记作α,β,γ.ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，一、ｎ维向量（Vector））＝（naaa,...,,212、元素全为零的向量称为零向量（NullVector）.3、维数相同的列（行）向量同型.元素是复数的向量称为复向量（ComplexVector）.2、几种特殊向量1、元素是实数的向量称为实向量（RealVector）.4、对应分量相等的向量相等.1122(),,,nnababab12,,,nkkkakaka二、向量的运算1122,,,nnababab1、加法1212(),(),nnaaabbb,,...,,,...,2、数乘向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.Rkaaan），＝（,...,,213、运算律（1）（交换律）（2）（结合律）()()（3）O（4）()O(设α,β,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数)（5）1（6）()()()（7）()（8）().},,,),,,({21T21维向量空间叫做集合维向量的全体所组成的nRxxxxxxXRnnnnLL.},,),,({3叫做三维向量空间的集合三维向量的全体所组成RzyxzyxrRT三、应用举例例111,1,0T，设3(3,4,0)T20,1,1T，12331,,(,,)21.11其中(,)求解12312332，，(4,4,1).T12332103312114010(0,1,2).T1230121031111140104411122nnxxxb线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb1212(,,...,)nnxxbx即Axb或向量组与矩阵的关系12mA其第ｊ个列向量记作12jjjmjaaa12(,,...,)nAｍ个ｎ维行向量.按行分块111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa按列分块ｎ个ｍ维列向量.其第ｉ个行向量记作12,,,iiiinaaa矩阵与向量的关系中注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.§2向量组的线性相关性一、向量组的线性相关性定义1212,,0kkkk向量共线不全为零的数使得123123,,,0kkkkkk向量共面不全为零的数,使得1212,0,0kkkk向量不共线若则123123,,0,0kkkkkk向量不共面若则线性相关线性无关的一个线性组合则称为向量定义2mmakakakL2211＝使得一组实数若存在设n维向量,,,,,,,,2121mmkkkaaaLL，,,,,maLa12a线性表示或称能由向量,,,maLa12a)(组成的集合叫做向量组.所或同维数的行向量若干个同维数的列向量1612,,...,(s1),s向量组称为线性相关如果定义312,,...,,skkk存在不全为零的数使得0...2211sSkkk112212...0,...0Ssskkkkkk若则否则称线性无关,★如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.★一个向量a=0线性相关,而时线性无关0★两个向量线性相关它们对应分量成比例即1712,,...,s向量组线性相关方程1122...0.ssxxx有非零解i.e.1211121211212222n11n22(,,...,),...0...0...........0Tiiiinssssnssaaaaxaxaxaxaxaxaxaxax设方程组有非零解二、判别方法1.向量个数未知数的个数向量维数方程的个数(无)(没)(没)18121(1,2,3,4,3),(1,2,0,5,1),TT例.设34(2,4,3,19,6),(3,6,3,24,7)TT1234,,,.试判断的线性相关性11223344:0kkkk解设123412341341234123423022460333045192403670kkkkkkkkkkkkkkkkkkk即19对系数矩阵进行初等行变换1123224630334519243167A10110134...000000000000同解方程组1342340340kkkkkk341,0,kk有无穷多解.取得到方程组的一组解12341,3,1,0kkkk(,,,)=()1234300,即有:1234,,,.故线性相关12126,,,(,,,)().mmaaaAaaamRAm定理向量组线性相关它所构成的矩阵的秩小于向量个数；向量组线性无关0|,,,|121naaannL线性无关维向量个推论线性相关维向量个时当推论nmnm,2线性相关维向量个特别地nn1:2.2112s,,...,(2)s定理1:向量组线性相关存在一个向量是其余向量的线性组合或可被其他向量线性表出(示).维单位向量为），，，，＝（例n,...,2,1...,01...02nii12,,,...,,n故线性相关12,,...,),nn＝(为任意维向量1122...nn则＝＋12,,...,.n而线性无关3.2212s,,...,(2)s定理:向量组线性相关存在一个向量是它前面向量的线性组合12s,,...,(2)s推论:设是由非零向量组成的,(2)iis向量组若每个向量都不是它12s,,...,前面向量的线性组合,则线性无关.从向量组中找尽量多的线性无关向量例2,742,520,111321aaa已知.,,,21321相关性的线性及向量组试讨论向量组aaaaa解，矩阵梯形施行初等行变换成行阶对矩阵),,(321aaa321,,aaa，可见2),,(321aaaR75142120155022020100022020112rr13rr2325rr；线性相关故向量组321,,aaa,2),(21aaR同时.,21线性无关故向量组aa例3....,,,,...,,,,)2(...,,21132221121线性相关性讨论设线性无关已知向量组ssssbbbaabaabaabsaaa证一1122...0,ssxbxbxb设,0)(...)()(1322211aaxaaxaaxss即,0)(...)()(122111ssssaxxaxxaxx亦即，故有线性无关因saaa...,,,21....,,,21线性无关为奇数时向量组所以当sbbbs为偶数为奇数列式由于此方程组的系数行ss;0;21)(111...000............00...11000...01110...001s10.......000132211sssxxxxxxxx....,,,21线性相关为偶数时向量组当sbbbs121.2,...m定理如果向量，线性无关，....,21线性表示且表达式唯一，能由则m三、性质12,...,,m而向量组，线性相关2812s:,,...,,定理3'若线性无关123:,,...,,r2.定理若线性相关整体无关部分无关部分相关整体相关12r+1,,...,,,...,.rm则也线性相关.则它的任一部分组也线性无关3.4定理设1212,,(1,2,,),rpjjpjjjjrjpjaaaajmaa有相同的线性相关性与则mm,...,,,...,,2121的一个排列为其中npppn,...,2,1,...,,21301212112s12s12s12(,,...,),1,2,...,(,,...,,),,,...,,,...,.,,...,,,...,iiiiniiiininsaaaisaaaa设则称为的延长向量组也称为的截短向量组定义12s5:,,...,,.4定理若线性无关则其延长组也线性无关1:r,n.nr推论维向量组线性无关在每个向量相同的位置添加个分量后得到的维向量组仍线性无关12s5:,,...,,.定理’若线性相关则其截短组也线性相关练习设向量组130,Tk，，212,Tk，，3021Τ，，线性相关，则ｋ.3..1kork§4向量组的秩§4向量组的秩向量组等价极大线性无关组与向量组的秩向量组的秩与矩阵秩的关系矩阵的秩与矩阵的运算1212,,,:,,,,.mlRSSR设有两个向量组：及若组中的每个向量都能由向量组线性表示1.定义4SR组能由组线性表示，,),,2,1(ljjL即对每个向量使存在数,,,,21mjjjkkkL一、向量组等价.RS若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价SR称组能由组线性表示1122jjjmjmkkk1112121222121212,,,,,,,lllmmmmlkkkkkkkkk从而1212,,,,jjmmjkkk.)(数矩阵称为这一线性表示的系矩阵ijlmkK，由此可知；ln2122221112112121,,,,,,bbbbbbbbbaaacccllnnlnLLLLL，若nllmnmBAC:一表示的系数矩阵为这B，线性表示的列向量组组能由矩阵量列向的则矩阵AC12m11121121222212llmmmllaaaaaaaaa：为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示，的行向量能由同时ABC,2.性质1）自反性2）对称性3）传递性具有以上性质的关系称为等价关系1定义712,,,rRaaa设向量组的一个部分组，满足;,,,)(21线性无关raaaiL()R则称此部分组是向量组的一个极大线性无关组简称极大无关组().iiR向量组中任意向量可由此部分组线性表示二、极大线性无关组与向量组的秩极大线性无关组所含