3.5函数的实际应用

§3.5函数的实际应用例1.一辆汽车从甲地出发驶向乙地，稍事休息后又返回异地.下图表示了该车的行驶过程，其中x表示车辆的行驶时间，y表示车辆与甲地的距离.根据图像提供的信息，回答下列问题：(1)乙地距离甲地有多远？该车从甲地到异地花了多长时间？(2)图中AB段表示了什么信息？(3)该车从甲地驶往乙地的速度与从乙地驶往甲地的速度相比，哪一个更快？(1)乙地距离甲地有多远？该车从甲地到异地花了多长时间？(2)图中AB段表示了什么信息？(3)该车从甲地驶往乙地的速度与从乙地驶往甲地的速度相比，哪一个更快？解：由题目给出的信息和图象可知：(1)乙地距离甲地200km；该车从甲地到乙地花了2h.(2)AB段表示该车在乙地停了1h.(3)从甲地驶往乙地花了2h，从乙地返回甲地花了5.5-2-1=2.5h，所以从甲地驶往乙地的速度更快.例2.某地出租车计价标准如下：行驶路程在3km以内(含3km)收费9元，以后每行驶1km增加收费1.6元，若行驶总路程超过10km，则超过部分按2.4元∕km计费（1）求旅客乘坐出租车行驶路程与应交付的打车费之间的函数关系式.（2）如果小明只有20元钱，他最多可以乘坐多少千米？解：（1）假设出租车行驶路程为x(km)，应交付的打车费为y（元），由条件有：当0x≤3时，y=9当3x≤10时，y=9+1.6(x-3)=1.6x+4.2当x10时，y=9+1.6(10-3)+2.4(x-10)=2.4x-3.8∴该函数关系可表示为(2)20-9=11（元）11÷1.6=6.875≈6.8（km）3+6.8=9.8(km)∴他最多可以乘坐约9.8km（另解：由1.6x+4.2=20得x≈9.8km，∴他最多可以乘坐约9.8km）9031.64.23102.43.810xyxxxx提炼总结1.例2中的函数在定义域的不同子集上有不同的解析式，称这样的函数为分段函数2.解函数应用题一般步骤:读题→建立函数模型→求解→回归实际问题例3.如图是某种新药在试验药效时得到每毫升血液中含药量（即药效）y(ug/mL)随服药后时间x(h)变化的图象，根据图象提供的信息回答下列问题：（1）服药后药效的上升速度与衰减速度哪个大？（2）服药后什么时间药效最大？（3）此药的药效最长可以保持大约多长时间？（1）服药后药效的上升速度与衰减速度哪个大？（2）服药后什么时间药效最大？（3）此药的药效最长可以保持大约多长时间？解：（1）由图象可知，药效的上升速度为7，衰减速度约为7/5，所以药效的上升速度大于衰减速度.（2）由图象可知，服药后1h药效最大.（3）由图象可知，此药的效果最长可以保持6.2h.解决通过阅读图表表示的函数给出结果,这问题关键是要审清题意，读懂图表，善于从图表中获取必要的信息.提炼总结例4.一家宾馆有客房200间，每间客房的租金为120元∕天，近期每天都客满.鉴于市场需求较旺，宾馆欲提高租金.据分析，每间客房每天的租金每提高10元，客房出租数将减少8间。不考虑其它因素，宾馆将每间客房每天的租金至少提高到多少时，每天的总租金最高？求出此时每天的总租金.解：设租金提高x个10元，以y（元）表示一天的总租金，则y=(120+10x)(200-8x)=-80x²+1040x+24000=-80(x²-13x-300)=-80(x-13/2)²+80(300+169/4)当x=13/2时，y取到最大值∵x∈N+∴由x的实际含义知，当x=6或x=7时，y取到最大值.∴宾馆将每间客房每天租金至少提高到120+6×10=180（元）时，每天的总租金最高为27360元.提炼总结应用函数的知识和方法解决实际问题时，应当注意将问题的“数学解”与问题的原意相结合，以获得问题的真实解，因此要特别注意自变量的取值范围.学生练习1.某地出租车计价标准如下：行驶路程在3km以内（含3km）收费7元，以后每行驶1km增加收费1.2元；若行驶总路程超过8km,则超过路程以2.0元∕km计费(1)求旅客乘坐出租车行驶路程与应交付的打车费用之间的函数关系(2)如果小明所要到达的目的距离起点7km，那么他要付多少元的费用？(3)如果小明只有20元钱，他最多可以乘坐多少千米？解：（1）设出租车行驶路程为x(km)，应交付的打车费用为y（元）由题意有：（2）当x=7时，y=1.2×7+3.4=11.8（元）∴小明要付11.8元（3）由1.2x+3.4=20得x=148，不合题意；由2x-3=20得x=11.58∴他最多可以乘坐11.5km8,3283,4.32.130,7xxxxxy2.国内跨市邮寄信函的收费标准如下：信函质量不超过20g的，每封收费1.2元；信函质量超过20g，但不超过40g的，每封收费2.4元；信函质量超过40g，但不超过60g的，每封收费3.6元；信函质量超过60g，但不超过80g的，每封收费4.8元；信函质量超过80g，但不超过100g的，每封收费6元（1）试选用适当的方法表示投递信函的质量x（单位：g,0x≤100）与应付的邮资y（元）之间的函数关系（2）小明要寄一封72g的跨市信函，但他只带了5元钱，问小明是否有足够的邮资？（3）如果小明要将两封信函（总质量不超过100g）寄给同一个收信人，那么他是将信函分开寄出合算还是合并寄出合算？解：(1)由题意有：1.20202.420403.640604.86080680100xxyxxx（2）当x=72时，y=4.8（元）＜5（元）∴小明有足够的邮资（3）合并寄合算.3.某汽车油箱内存油45L，每行驶100km耗油9L（1）求行驶过程中油箱内剩余油量Q(L)与行驶路程s(km)之间的函数关系式（2）求行驶200km后，油箱内剩余油量（3）油箱内的这些存油最多可供汽车行驶多少路程？解：（1）Q=45-0.09s(2)当s=200时，Q=45-0.09×200=27∴行驶200km后油箱内剩余油量为27L（3）要使s取最大值，需Q最小，即为0当Q=0时，有0=45-0.09s∴s=500km∴油箱内的这些存油最多可供汽车行驶500km4.一家旅社有床位300个，每个床位的日租金为20元，每天都客满，现旅社欲提高档次，同时提高租金，每个床位的日租金每增加2元，床位出租数会减少10个，不考虑其他因素时，旅社将每个床位的日租金提高到多少时，每天的租金收入最高？解：设每个床位的日租金提高x个2元，以y（元）表示每天的租金收入由题意知y=(20+2x)(300-10x)=-20x²+400x+6000=-20(x-10)²+8000∴当x=10即每个床位的日租金为40元时，每天的租金收入最高，最高租金为8000元5.我们知道，影响刹车距离的最主要因素是行车速度和路面的摩擦系数。研究表明，晴天在平整公路上某型号汽车的刹车距离s(m)与行驶速度v(km∕h)满足关系，而雨天行驶时，满足关系，根据上述信息，解答下列问题：（1）在同一坐标系中作出这两个函数的图象（2）这两个图象之间有什么相同点和不同点？这说明了什么？3002vs2002vs（3）如果车辆行驶速度分别是60km∕h和80km∕h，那么雨天行驶和晴天行驶的刹车距离各相差多少？（4）如果雨天行驶时车辆正前方50m处有一个障碍物，此时车辆的行驶速度为60km∕h，驾驶员应当在几秒内刹车？解：（1）（2）相同点：都是抛物线，在定义域上都是增函数。说明随着速度的增大，刹车距离增大不同点：对横坐标相同的点，纵坐标不一样。说明雨天行驶速度对刹车距离影响更大(3)当v=60时，晴天s=雨天s=18-12=6当v=80时，晴天s=雨天s=3002v12300360036430064003002v1820036002002v3220064002002v64323233∴当速度为60km/h,刹车距离相差6m，当速度为80km/h,，刹车距离相差332（4）刹车距离s=)(18200602m50-18=32m32÷1000=0.032km0.032÷60×3600=1.92s∴驾驶员应在1.92s内刹车本课小结本节主要通过实例来了解函数在实际问题中的应用，解函数应用题的一般步骤：读题→建立函数模型→求解→回归实际问题，注意自变量的取值范围，保证“数学解”与问题的原意相结合。另外注意理解分段函数的概念。作业教材P81练习2、3教材P83习题2、3