函数的奇偶性与单调性

1函数的奇偶性与单调性一、基本概念(1)函数的奇偶性：前提：函数的定义域原点对称．．．．．．．．．．。,xDfxfxfxfx任意则为偶函数；若，则为奇函数。变式：0;10fxfxfxfxfx的情况单独验证(整体性质)(2)函数的单调性：(局部性质)12121212,,,xxDxxfxfxfxDfxfxD任意若能得到，则在上为增函数；得到，则在上为减函数。1212121200fxfxfxfxDDxxxx变式：，函数在上为增函数，，则函数在上为减函数。yfx注：1.关于奇偶性，两函数的公共定义域存在且关于原点对称的前提下奇奇＝奇函数，偶偶＝偶函数，奇奇＝偶函数，偶偶＝偶函数,奇偶＝奇函数奇偶＝非奇非偶函数2.关于单调性：增+增＝增函数，减+减＝减函数，增-减＝增函数，减-增＝减函数；在的函数值全为正数(全为负数)的前提下，＝减函数，＝增函数增减()113.复合函数奇偶性与单调性的结论：,,yfxygxygxyfxyfgxyfxygx的值域与的定义域有公共部分，则函数存在,其中是外层函数，是内层函数。内偶外偶、内偶外奇、内奇外偶均为偶函数，只有内奇外奇才为奇函数。内增外增、内减外减均为增函数，内增外减、内减外增均为减函数。(3)函数的凹凸性(局部性质)：121212,,,,,,22,fxfxxxyfxxabxxfyfxabab若任意都有则称在上为凹函数如图1,2；反之则称它在上为凸函数如图3,4。二、特征方程：21,2,3,4,fxyfxfyfxyfxfyfxxfxyfxfyfyfyfxfxyfxfyfxyfyxfxyfxfyffxfyy正比例函数：幂函数：指数函数：对数函数：注：上述函数具备相应特征方程，但是具备特征方程的函数不一定是相应的函数！三、基本题型：能判断和证明函数的奇偶性以及单调性(单调区间)例1：判断下列函数的奇偶性222222,011111213lg145112122,01sincos116|23||23|781sincos11xxxxxxaxyyxyxxyyaxxxxxxxxyxxyyxxxx四、利用函数的奇偶性求函数的解析式例2：定义在上的函数满足且求函数的解析式.例3：奇函数与偶函数满足求与的解析式.例4：定义在上的奇函数当时，，求函数的解析式22211241,||||,0,()1()(),()()2(),0()log(2)().RyfxafxbfxxababyfxyfxygxfxgxfxgxxRyfxxfxxyfx五、利用函数的奇偶性或单调性求解析式中参数的值或范围32211(),0,01()0,(),,,,,3()20.()2,()0225.()21,1例5：已知函数判断在上的单调性；2若在上的值域为求的取值范围，并求相应的的值；若在，上恒成立，求的取值范围例6：函数是否存在实数使得函数在区间，上单调递减，而在区间，上单调递增例7：函数＝的最大的单调递增fxaxfxaxfxmnmnmnamnfxxafxxaxafxfxxxx.区间六、函数奇偶性和单调性的综合应用例8：研究函数的单调性例9：在区间，上，函数与在同一点取得相同的最小值，求在此区间上的最大值.例10：是的三条边，且满足判断的形状2222(),0.112(),()2(),,,3,,.nnnafxxaxxxfxxbxcbcRgxxfxabcABCabcnnNABC3例11：定义在上的函数对任意实数都满足已知当时，求函数在区间，上的最值(),()()(),(1)-2,0()0,()-33.Ryfxxyfxyfxfyfxfxyfx22222()0(0][).(1)(0)[6)(2)(0)(3)(0)()例12:已知具有性质：若，则该函数，上递减，在，递增若的值域为，，求的值研究常数在定义域内的单调性，并说明理由对函数和常数作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数单调性(不必证明)，并求函数bafxxaaayxxxcxbyxcxaayxyxaxxFx2211()()()1[2]().2为正整数在区间，上的最大值和最小值可利用你研究的结论nnxxnxx课后练习：1.()()()()yfxygxyfxgx函数与如图所示，则下列图像表示的可能是()2.()||,fxxxbxc设函数给出下列四个命题：10()2()(0,)cyfxyfxc时，是奇函数；＝的图像关于点对称；()0fx3方程最多有两个实根；40,0()0bcfx时，方程只有一个实根；其中正确的是213.()221,().4.lg1.5.()()()(),1(1)(2)(6)1(2)()26.,lg(123(1))函数满足求函数的解析式函数在范围内单调递减，求实数的取值范围是定义在上的增函数，且满足1求的值；若，解不等式对于给定的自然数函数在xxxxyfxfxfxyfxxyxaxRaxfxRfyffxyfffxfxnynanx1,,2.内恒有意义求实数的取值范围其中an4七、指、对数函数及反函数xya反函数logayx01a1a01a1a函数图像1.2.xyyx函数存在反函数的条件:与一一对应原函数与反函数定义域与值域的关系3.二者图像的关系4.求反函数的步骤5.反函数与函数单调性的关系6.反函数与函数奇偶性的关系7.原函数与反函数的交点是否一定在直线上？定义域R0,值域0,R图像特点恒过(0,1)点恒过(1,0)点单调性单调递减单调递增单调递减单调递增随a变化情况001a当从往逐渐变大时,函数图像绕，点作逆时针旋转010a当从往逐渐变大时,函数图像绕，点作顺时针旋转具体函数值0,10,01xyxy0,010,1xyxy1,001,0,xyxy01,01,0xyxy1113():,01,2.:420,0:3log2,30xxxayxaxaxfxxffxxf一反函数例6函数在上存在反函数，求实数的取值范围例7则的值是例8则的值是122222:,1.21:1,3,2:3,4,.::1,0111,1023334log11,0xxxfxafxfxfxAfxaxbabxxyxxyyyxxxx例9已知求不等式的解集例10若函数的图像经过点则函数的反函数的图像必经过点例11点既在函数的图像上，也在其反函数的图像上，求实数的值例12求下列函数的反函数例1211:,11()112()2,().():,,,(),0,xfxxfxxgxxgxfxaxbdabcdfxcxcxdc3已知函数求的反函数，并判断它的单调性；设求的最小值例14当实数满足何种条件时,函数的反函数是它本身.