2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1．使关于x的不等式36xxk有解的实数k的最大值是（）A．63B．3C．63D．62．空间四点A、B、C、D满足,9||,11||,7||,3||DACDBCAB则BDAC的取值（）A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221iTaaaaaMTi将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2020个数是（）A．43273767575B．43272767575C．43274707171D．43273707171二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7.将关于x的多项式2019321)(xxxxxxf表为关于y的多项式)(yg,202019192210yayayayaa其中.4xy则2010aaa.8.已知)(xf是定义在),0(上的减函数，若)143()12(22aafaaf成立，则a的取值范围是。12.如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列,,,,321aaa若,2005na则na5.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.数列}{na满足：.,236457,1210Nnaaaannn证明：（1）对任意naNn,为正整数；(2)对任意1,1nnaaNn为完全平方数。14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）15.过抛物线2xy上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足1ECAE;点F在线段BC上，满足2FCBF，且121，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.2020年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案二、（本题满分50分）设正数a、b、c、x、y、z满足.;,caybxbcxazabzcy求函数zzyyxxzyxf111),,(222的最小值.三、（本题满分50分）对每个正整数n，定义函数.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当nnnnf（其中[x]表示不超过x的最大整数，]).[}{xxx试求：2401)(kkf的值.2020年全国高中数学联赛解答一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1．使关于x的不等式36xxk有解的实数k的最大值是（）A．63B．3C．63D．62．空间四点A、B、C、D满足,9||,11||,7||,3||DACDBCAB则BDAC的取值（）A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个【答案】A【解析】注意到,9711301132222由于,0DACDBCAB则22DADA=22222)(2)(ABABCDCDBCBCABCDBCABCDBCABABCDBCABABCDCDBCBCABBCCDBC(2)(2222222),()CDBCBC即BDACCDABBCADBDAC,022222只有一个值得0，故选A。3．ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于1A、1B、1C。则CBACCCBBBAAAsinsinsin2cos2cos2cos111的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】A【解析】如图，连1BA，则12sin()2sin()2222AABCBCAAB2cos().22BC111111cos2cos()coscoscoscos()cos()22222222sinsin,cossinsin,cossinsin,cos2222(sinsinsin)coscos2(sinsinsin),22sinsinsinABCAABCACBAACBBCACBBBACCCABAABBBCABCCCABCABC同理原式2..A选5.方程13cos2cos3sin2sin22yx表示的曲线是（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线【答案】C【解析】),23cos()22cos(,223220,32即.3sin2sin又,03cos2cos,03cos,02cos,32,220方程表示的曲线是椭圆。)()4232sin(232sin22)3cos2(cos)3sin2(sin.0)(,0)4232sin(.423243,432322,0232sin,02322式即.3cos2cos3sin2sin曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选C。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7.将关于x的多项式2019321)(xxxxxxf表为关于y的多项式)(yg,202019192210yayayayaa其中.4xy则2010aaa.【答案】61521【解析】由题设知，)(xf和式中的各项构成首项为1，公比为x的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1111)()(2121xxxxxf令,4yx得,51)4()(21yyyg取,1y有.615)1(2120210gaaaa9.设、、满足20，若对于任意)cos()cos(,xxRx,0)cos(x则。【答案】.34【解析】设),cos()cos()cos()(xxxxf由Rx，0)(xf知，,0)(,0)(,0)(fff即)cos(,1)cos()cos()cos()cos()cos(.1)cos()cos(,1)cos(},34,32{,,,20.21又,.只有.34.3210.如图，四面体DABC的体积为61，且满足,32,45ACBCADACB则CD.【答案】3【解析】,61)45sin21(31DABCVACBCAD即.12ACBCAD又,32233ACBCADACBCAD等号当且仅当12ACBCAD时成立，这时ADAB,1面ABC，3DC.11.若正方形ABCD的一条边在直线172xy上，另外两个顶点在抛物线2xy上.则该正方形面积的最小值为.【答案】80【解析】设正方形的边AB在直线172xy上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11yxC、),(22yxD，则CD所在直线l的方程,2bxy将直线l的方程与抛物线方程联立，得.1122,12bxbxx令正方形边长为,a则).1(20)(5)()(2212212212bxxyyxxa①在172xy上任取一点（6，,5），它到直线bxy2的距离为5|17|,baa②.①、②联立解得,80.63,3221abb或.80.12802min2aa三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.数列}{na满足：.,236457,1210Nnaaaannn【解析】证明：（1）对任意naNn,为正整数；(2)对任意1,1nnaaNn为完全平方数。证明：（1）由题设得,51a且}{na严格单调递增.将条件式变形得,36457221nnnaaa两边平方整理得0972121nnnnaaaa①0972112nnnnaaaa②①-②得1111111()(7)0,,70nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa.711bnnaaa③由③式及5,110aa可知，对任意naNn,为正整数.14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）【解析】九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有2!8种.…5分下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设kxxx,,,21是依次排列于这段弧上的小球号码，则.8|91||)9()()1(||9|||||1|211211kkxxxxxxxx上式取等号当且仅当9121kxxx，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.因此1682最小S.由上知，当每个弧段上的球号}9,,,,1{21kxxx确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.在1,2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有6372717072CCCC种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是62种，故所求概率.31512!826P15.过抛物线2xy上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足1ECAE;点F在线段BC上，满足2FCBF，且121，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.当210x时，EF方程为：CDxy,4123)34141(23212方程为：21x，联立解得.121,21yx也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴.32,10xx∴所求轨迹方程为).32()13(312xxy解二：由解一知，AB的方程为),0,21(),1,0(,12DBxy故D是AB的中点.令,1,1,2211CFCBtCECAtCPCD则.321tt因为CD为ABC的中线，.22CBDCADCABS