集合的概念

第一节集合的概念一、集合的概念二、集合的表示方法三、集合的运算下列各种说法中，各自所表述的对象是否明确，为什么？1.我们班的全体学生；2.我们班的高个子学生；3.地球上的四大洋；4.方程(-1)=0的所有解；5.不等式2x-30的所有解；6.所有的直角三角形；7.函数y=x+1图像上的所有点；8.线段AB的垂直平分线上的所有点；2、常用数集及记法集合中的每一个对象1、集合——某些指定的对象集在一起元素（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合。记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q（5）实数集：全体实数的集合。记作R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。（2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N+。3、元素与集合的从属关系如果a是集合Ａ中的元素，说a属于Ａ，记作a∈Ａ例Ａ＝｛能被3整除的整数｝a∈Ａ；a∈Ａ；如果a不是集合Ａ中的元素，说a不属于Ａ，记作a∈Ａ注意：符号“∈”不可颠倒若a＝8若a＝－6属于不属于（2）互异性：集合中的元素没有重复。4、集合中元素的三大特性：（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）注：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……1，下列条件，哪些可构成集合。A立方根等于自身的数B班级里高个子同学C西湖里的鱼D较大的数2，若{1,2}={a,h}，则求a,h。3，A={平行四边形}，a为菱形，b为梯形，c为矩形，d为正方形。则不正确的是①a∈Ａ②b∈Ａ③c∈Ａ④d∈Ａ课堂小练习一集合的表示方法1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。2.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。格式：{x∈A|P（x）}含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。问题;{x|x-32}，{(x,y)|y=x2+1}分别表示什么集合呢?例如，不等式的解集可以表示为：或x-32{x∈R|x-32}{x|x-32}所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形xx注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。说明：有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。集合与集合是同一个集合吗？}1|),{(2xyyx}1|{2xyy},5,23,{2232yxxyxx如：集合有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。如：集合；集合{1000以内的质数}有限集与无限集1、有限集：含有有限个元素的集合。2、无限集：含有无限个元素的集合。3、空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：}01|{2xRx332x,x|,x|,x,x}Zk,15k0,k2x|x{}32,1{A}2,1,0,3{B课堂小练习二2（1）由实数所组成的集合，最多含有个元素；（2）求数集{1，x，x2-x}中的元素x应满足的条件；（3）表示所有正偶数组成的集合；（4）用描述法表示不超过30的非负偶数的集合是（5）用列举法表示（6）用列举法表示}0)1x)(2x)(32x)(1x(|Qx{A22*}Nm36|Zm{B{x|x=2n,nN*}，是无限集；小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）2．集合的表示方法（列举法、描述法、文氏图共3种）3．常用数集的定义及记法作业：1、列举集合的实例3个，用集合符号表示，并指出其元素。2、写出下列集合中的元素（1）{大于-1且小于7的自然数}（2）{平方等于2的数}（3）{24的约数}3、书上P7习题1、1第一题选做题：求集合{3,x,x2-2x}中x满足的条件。一、函数的概念二、函数的几种特性三、反函数第二节函数及其性质1．函数的定义定义1设有两个变量x和y，若当变量x在实数的某一范围D内，任意取定一个数值时，变量y按照一定的规律f，有惟一确定的值与之对应，则称y是x的函数,记作y=)(xf，xD，其中变量x称为自变量，变量y称为函数（或因变量）．自变量的取值范围D称为函数的定义域．一、函数的概念若对于确定的Dx0，通过对应规律f，函数y有惟一确定的值0y相对应，则称0y为)(xfy在0x处的函数值，记作)(000xfyyxx.函数值的集合，称为函数的值域，记作M.2.函数的两个要素函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素.（１）对应规律例1)(xf=2x2+31x就是一个特定的函数，f确定的对应规律为：f（）=2()2+3()－1.例2设y=)(xf=x1sinx1，求f(π2)．解.2π)2πsin(2π)π2(π2fyx例3设f(x+1)=x2-3x，求)(xf.解令tx1，则,1tx所以,45)1(3)1()(22tttttf所以)(xf=.452xx使62xx有定义,必须满足2x－x－6≥0，即（２）定义域例4求函数y=62xx+arcsin712x定义域．解这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函数的定义域,然后求其公共部分即可．0)2)(3(xx，解得x≥3或x≤－2，即62xx的定义域为(,2][3,);而使arcsin712x有定义,必须满足∣712x∣≤1，即于是，所求函数的定义域是［－3，－2］[3，4］.－7≤2x－1≤7，解得－3≤x≤4，即21arcsin7x的定义域为[3,4].例5下列函数是否相同,为什么?(1)y=2lnx与y=2lnx;(2)=u与y=x．3.函数的表示法：表格法、图像法及公式法．函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、图像法和公式法．解(1)y=2lnx与y=2lnx不是相同的函数,因为定义域不同.(2)=u与y=x是相同的函数,因为对应规律与定义域均相同.例6中央电视台每天都播放天气预报，经统计，某地1999年9月19日—29日每天的最高气温如下表所示．这个表格确实表达了温度是日期的函数，这里不存在任何计算温度的公式（否则就不需要气象局了），但是每一天都会产生出一个惟一的最高气温，对每个日期t，都有惟一个与t相应的惟一最高气温N．日期(9月)1920212223242526272829最高气温/℃2828272524262725232221解王先生离家的距离关于时间的函数图形见左下图．例7王先生到郊外去观景，他匀速前进，离家不久，他发现一骑车人的自行车坏了，他帮助这个人把自行车修好，随后又上路了．请把王先生离家的距离关于时间的函数用图形描述出来．离家距离时间O时间O离家距离31234569如果给上页左图标明具体的数值如上页右图，则可由解析表达式表示为5.3,63,31,3,10,3xxxxx)(xf该函数f(x)的定义域为D=［0，5］，但它在定义域内不同的区间上是用不同解析式来表示的，这样的函数称为分段函数．分段函数是定义域上的一个函数,不要理解为多个函数，分段函数需要分段求值，分段作图．例8作出下面分段函数的图形：,3,,0)(2xxxf.21,10,01xxx解该分段函数的图形如上图所示．-11212f(x)xODMf定义2设D与M分别是两个数集，存在对应律f,若对D中的每一个数x，通过对应规律f，集合M中都有惟一确定的数y与之对应,则称y为从D到M的函数（也称为映射）,记作MDf:,其中D称为函数f的定义域,D中的每一个x根据对应规律f对应于一个y，记作y=)(xf,称为函数f在x的函数值，全体函数值的集合MDxxfyyw),(称为函数f的值域，x称为f的自变量，y称为因变量，如右图所示．有界性设函数)(xf在某区间I上有定义，若存在正数M，使得Mxf)(，则称)(xf在I上有界.单调性设函数)(xf在某区间I上有定义，对于区间I内任意两点x1，x2，当21xx时，有)()(21xfxf，则称)(xf在I上单调增加，区间I称为单调增区间；若)()(21xfxf则称)(xf在I上单调减少，区间I称为单调减区间.奇偶性设函数)(xf在某区间I上有定义，I为关于原点对称的区间，若对于任意Ix，都有)(xf=)(xf，则称f(x)为偶函数；若f(-x)=-)(xf，则称)(xf为奇函数.二、函数的几种特性周期性设函数)(xf在某区间I上有定义，若存在不为零的数T,使得对于任意Ix,都有)()(xfTxf，则称)(xf为周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期．定义3设给定y是x的函数y=)(xf，如果把y当作自变量，x当作函数，则由关系式y=)(xf所确定的函数)(yx称为函数y=)(xf的反函数．而y=)(xf称为直接函数．习惯上总是用x表示自变量，而用y表示函数，因此，往往把x=(y)改写成y=(x)，称为y=)(xf的矫形反函数，记作)(1xfy.称函数)(xfy的反函数)(yx为直接反函数．三、反函数思考题1.确定一个函数需要哪几个因素?2.思考函数的几种特性的几何意义?3.直接函数y=)(xf，其直接反函数为)(yx，其矫形反函数为)()(1xxfy．⑴x=(y)与y=(x)是否为同一函数？⑵y=)(xf、x=(y)、y=f-1(x)在同一坐标系中的几何表现是什么？一、基本初等函数二、复合函数三、初等函数第三节初等函数第二节初等函数函数表达式反三角函数三角函数对数函数指数函数幂函数常数函数函数名称y=C(C为常数)xy(为实数)xay(a＞0,a≠1,a为常数)y=xalog(a＞0,a≠1,a为常数)y=xsin,y=cosx,y=tanx,y=cotxy=secx,y=cscxy=arcsinx,xyarccos,xyarctanxyarccot一、基本初等函数这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、图形必须熟悉．设)(ufy,其中)(xu,且)(x的值全部或部分落在)(uf的定义域内，则称)(xfy为x的复合函数，而u称为中间变量．例1（1）函数xy2sin是由2uy,xusin复合而成的复合函数，其定义域为),(，它也是xusin的定义域.（2）函数21xy,是由uy，21xu复合而成的，其定义域为［-1，1］，它是21xu的定义域的一部分.（3）y=uarcsin,u=2+x2是不能复合成一个函数的．二、复合函数例2分析下列复合函数的结构：⑴y=2cotx;⑵.e1sin2xy解⑴y=u,vucot,2xv.⑵y=ue,vusin,tv,12xt.例3设2)(xxf,xxg2)(,求,)(xgf)(xfg.解f[g(x)]=[g(x)]2=(x2)2=x4,g[f(x)]=)(2xf=22x.由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成，且用一个解析式表示的函数，叫做初等函数，否则就是非初等函数．三、初等函数思考题1.任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？2.设)(xf的定义域为（0，1），求)(tanxf的定义域．3.