参数方程概念及圆的参数方程

1.曲线的参数方程2.圆的参数方程探究：如图，一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？1010mx10.10st0令y,gt21500y100tx2xyoAM(x,y)所以飞行员在离救援点的水平距离约为1010时投放物资，可使其准确落在指定地点。（一）方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。（二）由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。（三）平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。)2.....(....................)()({tgytfx参数可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数，在研究运动问题时，通常选时间为参数；旋转问题时，通常选旋转角为参数，此外，直线的倾斜角、斜率等也常常被选为参数。弹曲线的参数方程。计空气阻力，试写出炮炮弹的发射角为α，不发射炮弹，思考：以初速度v0xyo0v)9.8米/秒取g其中g是重力加速度((t为参数)gt21tsinαvytcosαvx{参数方程为弹道曲线的2200的值。a)在曲线C上，求a(6,(2)、已知点M位置关系(5,4)与曲线C的M(0,1),(1)、判断点M(t为参数)12ty3tx数方程{例1、已知曲线C的参3212不在曲线C上。点M这个方程组无解，所以12t43t5，得到{(5,4)代入方程组把点M在曲线C上。所以M0方程组，解得t的坐标(0,1)代入解：(1)把点M222119所以，a9,a2,解得t12ta3t6{a)在曲线C上，所以(6,(2)、因为点M23D(1,0)),21,21)，C、(21,31A、(2,7)B、(）的一个点的坐标是（线上(θ为参数)表示的曲cos2θysinθx例2、方程{CoyxrM(x,y)0M2、圆的参数方程速圆周运动的时刻)的物理意义(质点作匀程。其中参数t有明确半径为r的圆的参数方这就是圆心在原点O，(t为参数)rsinωtyrcosωtx即{rysinωt,rxcosωt的定义有：＝r，那么由三角函数OM设y)，那么θ＝ωt，θ，坐标是M(x,过的角度是如果在时刻t，点M转点M从M0出发以为角速度按逆时针方向运动转过的角度。的位置时，OM点O逆时针旋转到OM绕OM中参数θ的几何意义是为r的圆的参数方程其半径这也是圆心在原点O，(θ为参数),rsinθyrcosθx{以取θ为参数，于是有考虑到θ＝ωt，也可00圆的参数方程的一般形式：程又是怎么样的呢？半径为r的圆的参数方)y,(xo那么，圆心在点,ry普通方程是x的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆002222202000r)y(y)x(x通方程为(θ为参数)对应的普rsinθyyrcosθxx{注意：由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。例3:已知圆上任意一点都使不等式恒成立,求实数的取值范围.1122yxyx,0myxm例2如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ(θ为参数)sinθy3cosθx{数方程是所以，点M的轨迹的参sinθ22sinθy3,cosθ262cosθx由中点坐标公式得：θ,2sinθ),P的坐标是(2cos则点θ,xOPy)，x,解：设点M的坐标是(思考：这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在圆O内，轨迹是什么？参数为说线为参数把下列方程化普通方程，并明各表示什么曲？xt1（1）{(t)y1t例1、2sincos2{1sin2xy（）点)点的一条射线(包括端这是以(1,1)为端1)3(x2x普通方程是y所以与参数方程等价的1,1t又x32x得到y,t21代入y1xt1有1t解：（1）由x这是抛物线的一部分。].2,2[xy,x普通方程为所以与参数方程等价的],2,2[所以x),4πsin(θ2cosθsinθ又xy,得到xsin2θ1cosθ平方后减去ysinθ(2)把x22sincos2{1sin2xy（）这是抛物线的一部分。].2,2[xy,x普通方程为所以与参数方程等价的],2,2[所以x),4πsin(θ2cosθsinθ又xy,得到xsin2θ1cosθ平方后减去ysinθ(2)把x22sincos2{1sin2xy（）yxo(1,-1)oy22x参数方程化为普通方程的步骤1、消掉参数（代入法、平方相加减等）2、写出定义域注意:在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。3{(0,1)ttttxaaaayaa（）2214()11txtttyt（）为参数224(2)xyx2221()11:txtttyt变为参数化2241(1)xyy