充分必要条件、充要条件

符号与的介绍如果命题为真，即如果p成立，那么q一定成立，记作，读作“p推出q”．pq如果命题为假，即如果p成立，那么q不成立，记作，读作“p推不出q”．pq现有命题“若p则q”，新知准备ABBA下面两栏中的A与B之间存在何种关系？（1）哪些AB？（2）哪些BA？（3）哪些既能又能？以c为最大边的三角形是RtΔ1２３４５６７x0x=√2两三角形全等a、b为奇数ab0=a2b2c2+-2x-3=0x20x2=2x2两三角形面积相等a+b为偶数a0且b0=-1xAB以a、b、c为三边的三角形，6答案：（2）BA：ABB（3）既能A：又能（1）AB：1234（6）75（6）以c为最大边的三角形是RtΔ1２３４５６７x0x=√2两三角形全等a、b为奇数ab0=a2b2c2+-2x-3=0x20x2=2x2两三角形面积相等a+b为偶数a0且b0=-1xAB以a、b、c为三边的三角形，观察1、2、3、4观察5、7充分条件的定义必要条件的定义如果A成立时，B必然成立，即，我们就说，A是B成立的充分条件．（即为使B成立，只需条件A就够了）AB如果B成立时，A必然成立，即，我们就说，A是B成立的必要条件．（即为使B成立，就必须条件A成立）BA观察6充要条件的定义如果A成立时，B必然成立，即，而且B成立时，A也必然成立，即．这时我们就说，，简称，记作或．ABBAABBA当，而且．这时我们就说，A是B的既不充分也不必要条件．BAABA是B成立的充分必要条件A是B的充要条件（2）p：三角形的三边相等，q：三角形的三个角相等．（1）p：x=y，q：．=x2y2例1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：x=y=x2y2由，即，知p是q的充分条件，q是p的必要条件．pq（1）p：x=y，q：x2=y2．解：由，即三角形的三边相等三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；pq（2）p：三角形的三边均相等，q：三角形的三个角均相等．qp反过来，由，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q是p的充分条件，p是q的必要条件．因此，p与q互为充要条件．解：1．用符号“”与“”填空：(1)x=0xy=0.(2)xy=0x=0.(3)两个角相等两个角是对顶角.(4)两个角是对顶角两个角相等.2．下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：(1)p：a∈Q，q：a∈R．(2)p：a∈R，q：a∈Q．(3)p：内错角相等，q：两直线平行．(4)p：两直线平行，q：内错角相等．Key:p是q的充分条件，q是p的必要条件Key:p是q的必要条件，q是p的充分条件Key:p是q的充分条件，q是p的必要条件Key:p是q的充分条件，q是p的必要条件•pq，且qp，则p是q的充要条件；条件的分类•pq，但qp，则p是q的充分而不必要条件；•qp，但pq，则p是q的必要而不充分条件；•pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.（1）从逻辑推理关系来看：（2）从集合与集合关系来看：•若AB，则A是B的充分条件；•若AB，则A是B的必要条件；•若A=B，则A是B的充要条件；•若AB且BA，则A既不是B的充分条件，也不是B的必要条件；四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件，方法有：直接证法（定义）或间接证（逆否命题）法；⑶确定条件是结论的什么条件.(1)p：(x-2)(x-3)=0;q：x–2=0．(2)p：同位角相等;q：两直线平行．(3)p：x=3;q：x2=9．(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．例2．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分,也不必要”中选出一种)？x–2=0(x–2)(x-3)=0，(x–2)(x-3)=0x–2=0．所以p是q的必要而不充分条件．同位角相等两直线平行．所以p是q的充要条件．(1)p：(x-2)(x-3)=0;q：x–2=0．解：(2)p：同位角相等;q：两直线平行．解：(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．x=3，，所以p是q的充分而不必要条件．x2=9=3xx2=9四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等．所以p是q的既不充分也不必要条件．(3)p：x=3;q：x2=9．解：解：1．从“”“”与“”中选出适当的符号填空：(1)x-1x1.(2)x2=3x+4.(3)a=ba+c=b+c.(4)a2-2ab+b2=0a=b.34xx2．从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”中选出适当的一种填空：(1)“a=b”是“ac=bc”的．(2)“两个三角形全等”是“两个三角形相似”的．(3)“a+5是无理数”是“a无理数”的．(4)“四边形的两条对角线相等”是“四边形是矩形”．充分而不必要条件充分而不必要条件充要条件必要而不充分条件现规定电路中，记“开关K闭合”为p，“灯泡L点亮”为q，指出下列各电路图中p是q的什么条件？：灯泡L：开关：电源图示K(A)(B)(C)(D)LLLLKKKAAp是q的充要条件p是q的必要而不充分条件p是q的充分而不必要条件p是q的既不充分也不必要条件由B是C的充分条件可得，BC由D是C的必要条件可得，CD由D是B的充分条件可得，DB由A是C的充分条件可得，ACADCB因而可得，(1)D是C的充要条件．(2)A是B的充分而不必要条件．设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，则(1)D是C的什么条件？(2)A是B的什么条件？解：练习1=0m-x-x2∴m-３方程无实根．已知“p：m-3,q：方程无实根”,指出p是q的什么条件？=0m-x-x2=0m-x-x2方程无实根，则Δ=(-1)2–4·1·(-m)=1+4m0∴p是q的充分条件．=0m-x-x2∵方程无实根m-３，∴p不是q的必要条件．∴综上所述，p是q的充分而不必要条件．解：练习214m即从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“AB”是“A∩B=A”的．(2)“x∈A”是“x∈A∩B”的．(3)“a=b=0”是“ab=0”的．(4)“0x5”是“|x–2|5”的．(5)“二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象过原点”是“c=0”的．充分而不必要条件必要而不充分条件充分而不必要条件充分而不必要条件充要条件练习3练习：已知p：-2≤x≤10；q：1-m≤x≤1+m,m0．若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．