高考文科数学复习“函数与导数”大题常考的3类题型

题型研究——“函数与导数”大题常考的3类题型123Contents一、学前明考情——考什么、怎么考二、课堂研题型——怎么办、提知能课时跟踪检测返回一、学前明考情——考什么、怎么考返回[真题尝试]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2ax＋2a＋1＝x＋12ax＋1x.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＜0，则当x∈0，－12a时，f′(x)＞0；当x∈－12a，＋∞时，f′(x)＜0.故f(x)在0，－12a上单调递增，在－12a，＋∞上单调递减．返回(2)当a＜0时，证明f(x)≤－34a－2.证明：由(1)知，当a＜0时，f(x)在x＝－12a处取得最大值，最大值为f－12a＝ln－12a－1－14a.所以f(x)≤－34a－2等价于ln－12a－1－14a≤－34a－2，即ln－12a＋12a＋1≤0.设g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝1x－1.返回当x∈(0,1)时，g′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x＞0时，g(x)≤0.从而当a＜0时，ln－12a＋12a＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.返回2．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；解：当a＝3时，f(x)＝13x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－23或x＝3＋23.当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)0.故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)，单调递减区间为(3－23，3＋23)．而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.返回(2)证明：f(x)只有一个零点．解：证明：因为x2＋x＋10，所以f(x)＝0等价于x3x2＋x＋1－3a＝0.设g(x)＝x3x2＋x＋1－3a，则g′(x)＝x2x2＋2x＋3x2＋x＋12≥0，仅当x＝0时，g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6a－162－160，f(3a＋1)＝130，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．返回3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－lnx－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1x.由题设知，f′(2)＝0，所以a＝12e2.从而f(x)＝12e2ex－lnx－1，f′(x)＝12e2ex－1x.可知f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f′(2)＝0，所以当0x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．返回(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥0.解：(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥exe－lnx－1.设g(x)＝exe－lnx－1，则g′(x)＝exe－1x.可知g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g′(1)＝0，所以当0x1时，g′(x)0；当x1时，g′(x)0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥1e时，f(x)≥0.返回[把握考情]创新角度常规角度常与切线、函数的单调性、极值、最值等知识综合命题，且常与指数函数、对数函数的复合函数结合1.单调性问题．主要考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围.2.函数零点问题．主要考查判断函数的零点个数以及由函数零点或方程的根求参数的值或取值范围．3.不等式问题．主要考查不等式的证明、不等式恒成立或不等式存在性问题．主要以解答题为主，综合性较强，难度较大返回二、课堂研题型——怎么办、提知能返回利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性是高考的热点和重点，一般为解答题的第一问，若不含参数，难度一般，若含参数，则较难．常见的考法有：(1)求函数的单调区间．(2)讨论函数的单调性．(3)由函数的单调性求参数．返回考法一求函数的单调区间[例1](2018·湘东五校联考节选)已知函数f(x)＝(lnx－k－1)x(k∈R)．当x1时，求f(x)的单调区间．[解]f′(x)＝1x·x＋lnx－k－1＝lnx－k，①当k≤0时，因为x1，所以f′(x)＝lnx－k0，所以函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．②当k0时，令lnx－k＝0，解得x＝ek，当1xek时，f′(x)0；当xek时，f′(x)0.所以函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．综上所述，当k≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间；当k0时，函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek，＋∞)．返回[方法技巧]利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)0或f′(x)0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．返回[针对训练](2019·湖南、江西十四校联考)已知f(x)＝(x2－ax)lnx－32x2＋2ax，求f(x)的单调递减区间．解：易得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝(2x－a)lnx＋x－a－3x＋2a＝(2x－a)lnx－(2x－a)＝(2x－a)(lnx－1)，令f′(x)＝0得x＝a2或x＝e.当a≤0时，因为x0，所以2x－a0，令f′(x)0得xe，所以f(x)的单调递减区间为(0，e)．当a0时，返回①若a2e，即0a2e，当x∈0，a2时，f′(x)0，当x∈a2，e时，f′(x)0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)的单调递减区间为a2，e；②若a2＝e，即a＝2e，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，f(x)没有单调递减区间；返回③若a2e，即a2e，当x∈(0，e)时，f′(x)0，当x∈e，a2时，f′(x)0，当x∈a2，＋∞时，f′(x)0，所以f(x)的单调递减区间为e，a2.综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，e)；当0a2e时，f(x)的单调递减区间为a2，e；当a＝2e时，f(x)无单调递减区间；当a2e时，f(x)的单调递减区间为e，a2.返回考法二讨论函数的单调性[例2]已知函数f(x)＝lnx＋1ax－1a(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．[解]f′(x)＝ax－1ax2(x0)，①当a0时，f′(x)0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．返回②当a0时，由f′(x)＝ax－1ax20，得x1a；由f′(x)＝ax－1ax20，得0x1a，∴函数f(x)在1a，＋∞上单调递增，在0，1a上单调递减．综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a0时，函数f(x)在1a，＋∞上单调递增，在0，1a上单调递减．返回[方法技巧]讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．[提醒]研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．返回[针对训练]已知函数f(x)＝1－lnx＋a2x2－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1x＋2a2x－a＝2a2x2－ax－1x＝2ax＋1ax－1x.①若a＝0，则f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②若a0，则当x＝1a时，f′(x)＝0，当0x1a时，f′(x)0；当x1a时，f′(x)0.故f(x)在0，1a上单调递减，在1a，＋∞上单调递增．返回③若a0，则当x＝－12a时，f′(x)＝0，当0x－12a时，f′(x)0；当x－12a时，f′(x)0.故f(x)在0，－12a上单调递减，在－12a，＋∞上单调递增．综上所述，当a＝0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a0时，f(x)在0，1a上单调递减，在1a，＋∞上单调递增；当a0时，f(x)在0，－12a上单调递减，在－12a，＋∞上单调递增．返回考法三由函数的单调性求参数[例3]设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．[解](1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得f0＝1，f′0＝0，即c＝1，b＝0.返回(2)由(1)知f(x)＝13x3－a2x2＋1，则g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋20成立，即x∈(－2，－1)时，ax＋2xmax＝－22，当且仅当x＝2x，即x＝－2时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－22)．返回[方法技巧]由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)0(或f′(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．返回[针对训练]已知函数f(x)＝alnx＋12x2＋(a＋1)x＋3.(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－lnx＋12x2＋3，定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－1x＋x＝x2－1x.由f′x＜0，x＞0，得0＜x＜1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)．返回(2)法一：因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝ax＋x＋a＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以x2＋(a＋1)x＋a≥0，即(x＋1)(x＋a)≥0在(0，＋∞)上恒成立．因为x＋1＞0，所以x＋a≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围是[0，＋∞)．返回法二：因为函数f(x)在(