初中数学--第二十一章---一元二次方程(复习汇总)

启迪思维点拨方法开发潜能快乐学习1辅导宝典学员姓名：年级：辅导科目：学科教师：授课内容第二十一章一元二次方程授课日期教学内容1、回顾一元一次方程的概念？2、有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？1、了解一元二次方程及有关概念。2、掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。3、掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法。4、了解一元二次方程两个根与系数的关系（韦达定理）。教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。2、用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。3、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题。教学难点1、一元二次方程配方法解题。2、用公式法解一元二次方程时的讨论；用因式分解法的技巧。3、建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别。Ⅲ.重点难点Ⅱ.教学目标Ⅰ.课前热身启迪思维点拨方法开发潜能快乐学习2考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。例如：2x2+2x-4=0（二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4）；4x2-4=0；3x2+8x=0等等。【三种形式ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0)】一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0，b、c为实数，未限定范围）。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，一定要符合一般形式格式，特别注意a的取值范围判定、分母是否含有未知数（分母含有未知数的方程是分式方程）。考点2：一元二次方程的解法1、直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0，注意b＜0则无实数根）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。x+a=b1x=-a+b2x=-a-b【（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）】Ⅳ.知识梳理启迪思维点拨方法开发潜能快乐学习32、配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b＜0，则原方程无解。3、公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的。一元二次方程的求根公式是aacbbx242(△=b2－4ac≥0)。步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出△=b2－4ac的值，当△=b2－4ac≥0时代入求根公式，△=b2－4ac＜0时，则该方程无实数解。4、因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若a×b=0，则a=0或b=0或a=b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5、一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0，因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解。⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式。如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去x＋4（因x＋4可能等于0，两边不能同时除于0，因此需要移项提取公因式进行计算）。⑷注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般方法选用顺序是：开平方法→因式分解法→公式法。6、判断一元二次方程解的情况⑴b2－4ac＞0方程有两个不相等的实数根；⑵b2－4ac=0方程有两个相等的实数根；⑶b2－4ac＜0方程没有实数根。启迪思维点拨方法开发潜能快乐学习4解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b2－4ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。考点3：根与系数的关系:韦达定理对于方程ax2＋bx+c=0(a≠0）来说，x1+x2=—b/a，x1×x2=c/a。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如2122122212)(xxxxxx21212111xxxxxx。韦达定理的应用：（1）已知方程的一个根，求另一个根和未知系数（2）求与已知方程的两个根有关的代数式的值（x12+x22，1/x1+1/x2）（3）已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值（比如，两根的和或关于两根的二元一次方程，则需要建立二元一次方程组）（4）已知两数的和与积，求这两个数（5）已知方程的两根x1，x2，求作一个新的一元二次方程x2–(x1+x2)x+x1x2=0（6）利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)考点4：利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题解题步骤：①理解题目实际问题，可画出简图便于理解；②找出实际问题中的等量关系；③列出一元二次方程；④求解方程（一般用因式分解法或配方法）；⑤验证两个解的合理性（三角形两边与第三边的关系；现实长度不能小于0等）列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.温馨提示：（1）若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．（2）面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程．（3）列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性.方法技巧：启迪思维点拨方法开发潜能快乐学习5（1）变化率问题中常用a（1±x）n=b，其中a是起始量，b是终止量，n是变出次数，x是变化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.（2）解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系.题型1：一元二次方程的判定以及相关参数取值或取值范围1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（）2222211.3(1)2(1).20.0.21AxxBxyCaxbxcDxxx2、把方程（1－2x）（1+2x）=2x2－1化为一元二次方程的一般形式为3、已知关于x的方程21(1)(2)10mmxmx，问：（1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；（2）m取何值时，它是一元一次方程？题型2：利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1、关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-1=0的常数项为0，求m的值。2、若一元二次方程2(24)(36)80axaxa没有一次项，则a的值为题型3：利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式1、已知关于x的一元二次方程x2+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），则a-b值为（）A.－1B.0C.1D.22、若一元二次方程ax2+bx+c=0中，a－b+c=0，则此方程必有一个根为.3、已知实数a是一元二次方程x2－2013x+1=0的解，求代数式22120122013aaa的值.题型4：一元二次方程的解法——直接开平方法1、解方程（x＋3）2＝22、解方程（3-2x）2=49题型5：一元二次方程的解法——配方法1、若方程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）A．-9或11B．-7或8C．-8或9C．-8或9启迪思维点拨方法开发潜能快乐学习62、解方程3x(x+4)=8x+123、用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零。题型6：利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围1、关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）2、已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根3、已知关于x的方程a2x2+（2a－1）x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2。求a的取值范围。题型7：一元二次方程的解法——公式法1、解方程x2+4x+8=4x+112、解方程x2+17=8x题型8：一元二次方程的解法——因式分解法1、解下列方程：(1)y2＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；(3)(2x－1)(x－1)＝12、解下列方程：（1）2y2=y+15；（2）y2-35y+300=0；（3）021362xx3、解下列方程：（1）0)23(9)12(322xx（2）0223)222(2xx题型9：解绝对值方程和高次方程1、若方程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2=.2、解方程x2－|x－1|－1=03、已知12m，试解关于x的方程).1)(1(2)2(xxxmx题型10：利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值1、已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（）．A．1B．2C．3D．4启迪思维点拨方法开发潜能快乐学习72、关于x的方程kx2+(k+2)x+k/4=0有两个不相等的实数根，(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k的值；不存在说明理由。3、设x1、x2是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a=．4、已知x1、x2是一元二次方程0262aaxxa的两个实数根，（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2=4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1＋1）（x2＋1）为负整数的实数a的整数值．5、(1)教材中我们学习了：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,x1+x2=－ba,x1·x2=ca.根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x1、x2的代数式的值．例如：已知x1、x2为方程x2-2x-1=0的两根，则：（1）x1+x2=____，x1·x2=____，那么x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=____．请你完成以上的填空．．．．．．．．．．（2）阅读材料：已知2210,10mmnn，且1mn．求1mnn的值．解：由210nn可知0n．∴21110nn．∴21110nn.又210,mm且1mn，即1mn．∴1,mn是方程210xx的两根．∴11mn．∴1mnn=1．（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．已知222310,320mmnn，且1mn．求221mn的值．题型11：一元二次方程的应用（一）利用一元二次方程解决面积问题1、如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？启迪思维点拨方法开发潜能快乐学习8（二）利用一元二次方程解决变化率问题1、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取2≈1.41）2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感