北师大版八年级数学上册实数知识点及习题

实数知识点一、【平方根】如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当)0(2aax时，我们称x是a的平方根，记做：)0(aax。因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：ax。3、当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。例1.（1）的平方是64，所以64的平方根是；（2）的平方根是它本身。（3）若x的平方根是±2，则x=；16的平方根是（4）当x时，x23－有意义。（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0aa。3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。例2.（1）下列说法正确的是（）A．1的立方根是1；B．24；（C）、81的平方根是3；（D）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、981B、14.314.3C、3927D、235（3）2)3(的算术平方根是。（4）若xx有意义，则1x___________。（5）已知△ABC的三边分别是,,,cba且ba,满足0)4(32ba，求c的取值范围。（7）如果x、y分别是4－3的整数部分和小数部分。求x－y的值.（8）求下列各数的平方根和算术平方根.64；12149；0.0004；(－25)2；11.1.44，0，8，49100，441，196，10－4（9）(64)2等于多少？(12149)2等于多少？（10）(2.7)2等于多少？（11）对于正数a，(a)2等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.知识点三、【开平方性质】(1)94=_________，94=_________；(2)(2)916=_________，916=_________；(3)94=_________，94=_________；(4)(4)2516_________，2516=_________.知识点四、【立方根】：1、如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：3a，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例3.（1）64的立方根是???????????（2）若9.28,89.233aba，则b等于（）A.1000000B.1000C.10D.10000（3）下列说法中：①3都是27的立方根，②yy33，③64的立方根是2，④4832。其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个知识点五、【无理数】：1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：2、有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75、④π、⑤252.、⑥32,4,32其中无理数有()个A2B3C4D5知识点六、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1，最小的正整数是1.2、实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是a1（a≠0）；实数a的绝对值|a|=)0()0(aaaa，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例5.（1）下列说法正确的是（）；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1和2之间的无理数只有2；D、不带根号的数都是有理数。（2）①a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()A、baB、abC、baD、ab（3）如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是3和-1，则点C所对应的实数是（）a0bA.1+3B.2+3C.23-1D.23+1（4）实数a、b在轴上的位置如图所示，且ba，则化简baa2的结果为（）A．ba2B.ba2C.bD.ba2（5）比较大小(填“”或“”).310，3320，76______67，21521，（6）将下列各数：51,3,8,23，用“＜”连接起来；______________________________________。（7）若2,3ba，且0ab，则：ba=。（8）计算：（9）已知：064.01,121732yx，求代数式3245102yyxx的值。基础练习一一、选择题32B.2C.0D.7222.下列说法中正确的是（）3.下列语句正确的是（）C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数4.在直角△ABC中，∠C=90°，AC=23，BC=2，则AB为（）A.整数B.分数C.无理数D.不能确定5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（）A.小数B.分数C.无理数D.不能确定6.2)2(的化简结果是（）A.2B.－2C.2或－2D.47.9的算术平方根是（）A.±3B.3C.±3D.38.(－11)2的平方根是A.121B.11C.±11D.没有平方根9.下列式子中，正确的是（）A.55B.－6.3=－0.6C.2)13(=13D.36=±610.7－2的算术平方根是（）A.71B.7C.41D.411.16的平方根是（）A.±4B.24C.±2D.±212.一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是（）A.a+2B.a－2C.a+2D.a2+213.下列说法正确的是（）A.－2是－4的平方根B.2是(－2)2的算术平方根C.(－2)2的平方根是2D.8的平方根是414.16的平方根是（）A.4B.－4C.±4D.±215.169的值是（）A.7B.－1C.1D.－7aob16.下列各数中没有平方根的数是（）A.－(－2)3B.3－3C.a0D.－（a2+1）17.2a等于（）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对18.如果a(a＞0)的平方根是±m，那么（）A.a2=±mB.a=±m2C.a=±mD.±a=±m19.若正方形的边长是a,面积为S，那么（）A.S的平方根是aB.a是S的算术平方根C.a=±SD.S=a二、填空题1.在0.351，－32，4.969696………中，无理数的个数有______.2.______小数或______小数是有理数，______小数是无理数.3.x2=8,则x______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”)4.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)5.1214的平方根是_________；6.(－41)2的算术平方根是_________；7.一个正数的平方根是2a－1与－a+2，则a=_________，这个正数是_________；8.25的算术平方根是_________；9.9－2的算术平方根是_________；10.4的值等于_____，4的平方根为_____；11.(－4)2的平方根是____，算术平方根是_____.三.判断题1.－0.01是0.1的平方根.()2.－52的平方根为－5.（）3.0和负数没有平方根.（）4.因为161的平方根是±41,所以161=±41.（）5.正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（）四、解答题1.已知：在数－43，－24.1,π,3.1416,32,0,42,(－1)2n…中，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；2.要切一块面积为36m2的正方形铁板，它的边长应是多少？3.已知某数有两个平方根分别是a+3与2a－15,求这个数.分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axbyaxby与分别互为有理化因式。例题：找出下列各式的有理化因式3．分母有理化的方法与步骤：（1）先将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：把下列各式分母有理化例题：把下列各式分母有理化：（1）abab(2)abab（3）122aa（4）2222babbab【练习】1．找出下列各式的有理化因式2．把下列各式分母有理化3．计算2211(3)23232(4)xyxyxyxyxy4．比较大小175与1535.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面：(1)62；(2)75；(3)214；(4)ba2；(5)332；6.计算：(1)499；(2)81342；(3)0225.016.0；(4)32436.06401.0；(5)10027；(6)6412125xy；1.计算(1)553155；(2))534(3；(3))53()5614(；(4)211321214621；☆★专题讲解：类型一．有关概念的识别1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含的数，如：12,2等，开方开不尽的数，如32,6等；特定结构的数，例0.010010001…等；某些三角函数，如sin60o，cos45o等。判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16是有理数，而不是无理数。例1．下面几个数：0.23…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4(5)ab(4)32622(6)()axaxa757(4)575例2.（2010年浙江省东阳县）73是A．无理数B．有理数C．整数D．负数举一反三：1.在实数中－23，0，3，－3.14，4中无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、平方根、算术平方根、立方根的概念若a≥0，则a的平方根是a，a的算术平方根a；若a0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则