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4.1.2圆的一般方程xyaP(x,y)P(x,y)是直线a上任意一点0AxByC点P的坐标(x,y)满足的关系式CM(x,y)222)()(rbyaxM(x,y)是圆C上任意一点点M的坐标(x,y)满足的关系式求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标x,y所满足的关系.如果某条曲线C是由动点M运动产生的,我们就称曲线C是点M的轨迹,曲线C的方程称为M的轨迹方程。注意:“轨迹”、“方程”要区分:(2)若是求轨迹,求得方程还不够,还应指出方程所表示的曲线类型(定形、定位、定量)。(1)求轨迹方程,求得方程就可以了;轨迹和轨迹方程:求轨迹方程方法•1、直接法(直译法)•2、相关点法•3、定义法•4、几何法•5、交轨法问题:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么?xyOC(a,b)M(x,y)P={M||MC|=r}圆上所有点的集合rbyax22)()((x-a)2+(y-b)2=r2设点M(x,y)为圆C上任一点,则|MC|=r。推导圆的标准方程例1、设A,B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。0xyAB解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上的任一点,我们的目标就是要找x与y的关系式则|MA|=|MB|先找曲线上的点满足的几何条件∴2222(1)(1)(3)(7)xyxy坐标化∴22222121691449xxyyxxyy∴270xy化简综上所述,线段AB的垂直平分线的方程是270xy.例1、设A,B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。一、直接法动点具有的几何条件比较明显时,由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法.适用范围:任何情况直译法求曲线方程方程的一般步骤:设曲线上任意一点M的坐标为(x,y)建立适当的坐标系根据数量关系列出符合条件p(M)的方程f(x,y)=0化方程f(x,y)=0为最简形式检验:多退少补例2.已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线.举例2222222(,)(0)(0)12(3)(0)23064(9)0xyxyxyxyx解:设是所求曲线上的点,则由题意可得:两边平方化简得:该曲线为圆.yx.O..(-1,0)A(3,0)M(x,y)直译法练习:已知两个点是A(-1,-1)、B(3,7),求到这两个点距离相等的点C的轨迹方程.ABC0xy答案:x+2y-7=0练习:两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.xy0MBA解:如图以直线AB为x轴,AB的中点为原点建立坐标系(,)xy则A、B的坐标分别为(3,0)(3,0)、设M的坐标分别为(,)xy依题意得2226MAMB∴2222(3)(3)26xyxy化简整理得224xy∴点M的轨迹方程为224xy.变式:已知等腰三角形底边的两个端点是A(-1,-1)、B(3,7),求第三个顶点C的轨迹方程.ABC0xyx+2y-7=0,且不过点(1,3)注:求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要“多退少补”,多余的点要剔除(用x,y的取值范围来限制),不足的点要补充.例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.yABMxo题目特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的变化而变化方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0),然后代入已知曲线方程,即的从动点轨迹方程.步骤:1、设出所求点坐标(x,y),以及相关的点的坐标(x0,y0),2、找出(x0,y0)所满足的关系式3、用(x,y)表示出(x0,y0)4、把(x,y)代入(x0,y0)的关系式,结论相关点法22(1)4xy2200(1)4xy解.设M的坐标为(x,y)A的坐标为(x0,y0)0043,22xyxy因为M是AB的中点即0024,23xxyy又点A在圆上代入得2233()()122xy即主动点被动点设主动点为(x0,y0)被动点为(x,y)所以M的轨迹是以点为圆心,1为半径的圆33,22x0=f(x),y0=g(y)代入主动点方程整理得轨迹方程主被动点法22(241)(23)4xy练习:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标表示,利用代入法,代入圆的方程即可.0000002200222223,23,:,Mx,y,Px,y,x,yxy1,2x34y1,2,2.31().24xxxxyyyyxy解由题意设点的坐标为点的坐标为则又在圆上解:解法1:设点M的坐标为(x,y).∵M为线段AB的中点,∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4),例4:过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.4042(,2220221(1),).1yxyxxPAPBkx1k1而整理得x+2y-5=0(x≠1).∵当x=1时,A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4),∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所求,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.解法2:∵l1⊥l2,OA⊥OB,∴O,A,P,B四点共圆,且该圆的圆心为M.∴|MP|=|MO|.∴点M的轨迹为线段OP的中垂线.的中点坐标为(1,2),∴点M的轨迹方程是即x+2y-5=0.402,20OPkOP12(1),2yx在求曲线方程的过程中,根据题中所给几何特征,利用平面几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程,这种方法叫做几何法。例3.已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)距离的比为的点的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线。213MCAOyx解:在给定的坐标系中,设M(x,y)是曲线上任意一点,点M在曲线上的条件是||1||2MOMA3MCAOyx由两点间距离公式,上式用坐标表示为222212(3)xyxy两边平方并化简,得曲线的方程是x2+y2+2x-3=0.配方得(x+1)2+y2=4,所以曲线是圆心为(-1,0),半径为2的圆。EyxOCBA例4.已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m,求顶点C的轨迹方程.解:由题意,以AB中点为原点,边AB所在的直线为x轴建立直角坐标系,如图,则A(-a,0),B(a,0),设C(x,y),则BC中点为E(,)22xayEyxOCBA因为|AE|=m,所以22()()22xayam化简得(x+3a)2+y2=4m2.由于点C在直线AB上时,不能构成三角形,故去掉曲线与x轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2.(y≠0)0xyABC曲线的方程||||MBMAMP解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合2222)7()3()1()1(yxyx由两点间的距离公式,点M所适合条件可表示为:将上式两边平方,整理得:x+2y-7=0③例1:如果A,B两点的坐标是(-1,-1),(3,7),动点P到A,B的距离相等.你知道动点P的轨迹是什么吗?如何证明你的结论?例2已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B点且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.2解:设|PB|=r.∵圆P与圆A内切,圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆.∴2a=10,2c=|AB|=6,∴a=5,c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16.即点P的轨迹方程为=1.222516xy解:例1:将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所的曲线的方程,并说明它是什么曲线?yxo设所的曲线上任一点的坐标为(x,y),圆=4上的对应点的坐标为(x’,y’),由题意可得:22yxyyxx2//22yx因为=4所以4422yx即1422yx1)将圆按照某个方向均匀地压缩(拉长),可以得到椭圆。2)利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法;171622yx练习:1.三角形ABC的三边a、b、c成等差数列,A、C的坐标分别为(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹。)0(13422yyx练习2、一动圆过点B(-3,0),64)3(:22yxC内切,求该动圆圆心M的轨迹方程。而且与圆3-3xyMABC22115.(3,0):(3)4POxyMPO已知定点,定圆,动圆过点且与圆相切,求动圆圆心轨迹。)0(18,83,1,622,1M2221111xyxbcaOPMMPMOrMOrMPOMr动圆圆心轨迹:)为焦点的双曲线(左支在以外切与圆若动圆半径为解:设动圆XYMPO1O)0(18)0(18,83,1,622,2222221111xyxxyxbcaOPMMOMPrMOrMPOM综上:轨迹方程为:动圆圆心轨迹方程:)为焦点的双曲线(右支在以内切与圆若动圆XYMPO1O642-2-4-5510xoyAB变题1、已知圆,圆,若动圆与圆都相切,求动圆圆心的轨迹方程MAB、M1)5(:22yxA16)5(:22yxB(1)(2)(3)(4)19124y924x19124y924x17524y2524x17524y2524x642-2-4-5510xoyMAB8642-2-4-6-551015MAB642-2-4-6-10-5510BMA108642-2-4-551015MBA(X0)(X0)(X0)(X0)1)5(:22yxA16)5(:22yxB
本文标题:圆的一般方程2(求轨迹方程)
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