中南大学最全高等工程数学试题集免费下载(部分含答案)

精选14222231kkkkkkkxxxxxxx1421422222231kkkkkkkkkkxxxxxxxxxx14221kkkkxxxx中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：2011年月日时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1）对方程32()2fxxxx，写出其Newton迭代公式，使得由迭代公式产生的序列nx可以2阶收敛于方程的唯一正根*x；解：由牛顿迭代公式得因其存在2重跟，故需对其进行修正得（2）在[,]ab上，设0)(xf与)(xx等价，则当)(x满足φ(x)于[a,b]一阶导数存在，当x∈[a,b]时，有φ(x)∈[a,b]和|g＇(x)|≤L≤1，x∈[a,b]时，由)(1kkxx（L,2,1,0k）产生的序列kx收敛于方程)(xx的根；（3）用Doolittle分解法求方程：123211413261225xxx则：L=，U=，解x=；解：111323121lllL，332322131211uuuuuuU，112131312121111auauau，2121113131112121ualual，2553122122222212313232ulauuulal，43,23232213212323uululau2021233213313333ululau,因此153211211L,20214325112U,Tx11115321121120214325112UT111精选（4）已知2114132,61225Ax，则：A564max=6；1A564max=6；1x4+6+5=15。（5）已知)(xfy在区间],[ba上通过点(,),0,1,2,,iixyin，则其三次样条插值函数)(xS是满足在每个子区间)2,1(,1nixxii上不高于三次的多项式，S(x），S’（x），S’’（x）在ba,上连续，满足插值条件)2,1()(niyxSii；（6）设有线性回归模型1112122312322yyy，其中2~(0,)(1,2,3)iNi且相互独立，写出参数12,的最小二乘估计623211yyy，52322yy。解：2133212211122yyy，31221322122112)2()2()(iiyyyQ因此得232213211104212242yyQyyyQ，故52623223211yyyyy（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。写出三种常用的自变量的选取方法向后回归法、向前回归法、逐步回归法。（8）影响数学模型数值求解结果的误差有：截断误差，舍入误差，观测误差。二、（本题8分）已知)(xf的数据如表：x-2026)(xf04-210试求三次Newton插值多项式3()Nx，求(5)f的近似值，并给出相应的误差估计式。xF(x)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商-200422-2-3-5/4610319/325-0.2187510.218752.406250.281250因此)2()2(329)2(45)2(2)(3xxxxxxxN而21875.0)5()5(3Nf精选0))()()(()5(321032103xxxxxxxxxxxxxfR三、（本题10分）引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：12121212max34..240.510,0Zxxstxxxxxx解：将约束条件加上松弛变量x3，剩余变量x4和人工变量x5后得到一个有基可行解的典型方程如下：)51(,015.0425421321ixxxxxxxxi相应的目标函数为521)43(maxMxxxz列出初始单纯形表，并进行迭代得：基变量CBXBX1X2X3X4X5θ3400-MX304211002X5-M11-0.50-111Zj-M0.5M0M-Mσ-M-30.5M-40M0X3020212-21X1311-0.50-11—Zj3-1.50-33σ0-5.50-33+MX241010.51-1—X131.5100.25-0.50.53Zj342.752.5-2.5σ002.752.5-2.5+M这时的检验数已全部非负。得最优解TX)00015.1(；人工变量X5=0，去掉人工变量部分，得原线性规划问题的最优解为TX0015.1，最优值Z8.5四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B两道工序加工，A工序在设备1A或2A上完成，B工序在1B，2B，3B三种设备上完成。已知产品甲可在A，B任何一种设备上加工；产品乙可在任精选何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在1B设备上加工；产品丙只能在2A与2B设备上加工。加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。设备产品设备有效台时设备加工费（元/小时）甲乙丙1A51060000.052A7912100000.031B6840000.062B41170000.113B740000.05原料费（元/件）0.250.350.50售价（元/件）1.252.002.80（1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）；（2）写出所建立的模型的对偶形式。解：（1）设在A1设备上生产甲x11件，乙x12件，在A2设备上生产甲x21件，乙x22件，丙x23件，在B1设备上生产甲x31件，乙x32件，在B2设备上生产甲x41件，丙x43件，在B3设备上生产甲x51件由已知条件得)05.021.144.048.036.0(94.138.115.179.075.0max51434132312322122111xxxxxxxxxx)3,2,1,51(000040007700011440008610000312976000105.432332221251413121115143413231222211211jixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsij（2）因目标函数为最大值，而线性规划方程符合要求，故不需转换形式，由此得：54321400070004000100006000minyyyyy精选)82,1(005.0721.11144.0448.0836.0694.11238.1915.11079.0775.05.65846473638272716261iyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyytsi五、（本题12分）一种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的一种降压药服用一周后能使血压明显降低的效率可以达到80%，今在高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，一周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实)01.0(？解：设降压效率为p，作假设H0：p≥80%H1：p＜80%由点估计，nmXnpnii11ˆ，m为血压明显降低的人数，抽取的样本为大样本，因此选取统计量为)1(nmmnpmU，对α=0.01，拒绝域01.0ZUW。由已知得m=148，n=200,因此统计量0269.49799.212)2001481(1482008.0148u，查表得Z0.01=2.33，从而，样本观测值未落入拒绝域中，不能拒绝H0，即生产厂家说法是真实的。六、（本题10分）设有数值求积公式30123()(2)(0)(2)fxdxAfAfAf，试确定012,,AAA，使该数值积分公式有尽量高的代数精度，并确定其代数精度为多少。解：将2,,1)(xxxf分别代入式中得92202262020210AAAAAAA，因此A0=2.25，A1=1.5，A2=2.25精选将却不成立代入式中是成立的，但43)()(xxfxxf，因此代数精度为3。七、（本题12分）影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表因素秧龄苗数氮肥1水平2水平小苗15万株/亩8斤/亩大亩25万株/亩12斤/亩若考虑之间的交互作用，采用)2(78L安排试验，并按秧龄、每亩基本苗数、氮肥分别放在表的第一、二、四列，解答下列问题：（1）它们的交互作用分别位于哪一列？（2）若按这种表头作试验并测得产量为83.4,84.0,87.3,84.8,87.3,88.0,92.3,90.4，试寻找较好的生产条件。解：列表如下：1（秧龄A）A2（苗数B）3（A×B）4（氮肥C）5（A×C）6（B×C）产量斤/亩1234567811112222112211221122221112121212121221211221122183.484.087.384.887.388.092.390.4K1iK2i339.5358342.7354.8350.1347.4350.3347.2349.1348.4345.9351.6ik1ik284.87589.585.67588.787.52586.8587.57586.887.27587.186.47587.9R4.6253.0250.6750.7750.1751.425由表计算数据及直观分析可知，因子B×C、A、B是重要的。显然A取水平A2，B取水平B2，而B×C由B2×C1：75.8923.923.87，B2×C2：6.8724.908.84故C取C1水平。从而最优水平为A2B2C1。八、（本题16分）设方程组为12329112125883213xxx精选（1）对方程组进行适当调整，使得用雅可比迭代方法和高斯—塞德尔迭代法求解时都收敛；（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式的分量形式；（3）取初始向量(0)(0,0,0)Tx，用雅可比迭代方法求准确解*x的近似解)1(kx，使(1)*310kxx至少需要迭代多少次？解：（1）81213521192238321xxx，经变换后的矩阵为严格对角占优阵，因此在用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛。（2）)28(51)212(91)2313(81)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx（3）解方程组可知雅克比迭代法形式为)28(51)212(91)2313(81)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxxTx0215961.19368725.00182736.1kX1(k)X2(k)X3(k)11.6251.33333331.620.7250.79444440.741666731.14166681.08981481.137222240.93201390.95327160.935740751.03358801.0222479