八年级数学上册-三角形的高、中线与角平分线

11.1.2三角形的高、中线与角平分线学科网zxxkw22.线段中点的定义：3.角平分线的定义：1.垂线的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点。当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。相关知识回顾从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角。这条射线叫做这个角的平分线。情境引入你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?BAC012345678910012345012345012345012345012345012345概念学习三角形的高A从三角形的一个顶点BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足D之间的线段叫做三角形这边的高，简称三角形的高。如图,线段AD是BC边上的高.任意画一个锐角△ABC,和垂足的字母.ABC请你画出BC边上的高.注意!标明垂直的记号D探究交流锐角三角形的三条高每人画一个锐角三角形。(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.O锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?ABCDEF锐角三角形的三条高交于同一点.这个点叫三角形的垂心锐角三角形的三条高都在三角形的内部。学科网zxxkw学科网探究交流直角三角形的三条高在纸上画出一个直角三角形。将你的结果与同伴进行交流.ABC(1)画出直角三角形的三条高.直角边BC边上的高是______;AB直角边AB边上的高是;CB(2)它们有怎样的位置关系？D斜边AC边上的高是_______.BD●直角三角形的三条高交于直角顶点.探究交流钝角三角形的三条高ABCDEF(1)钝角三角形的三条高交于一点吗？(2)它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流.O钝角三角形的三条高不相交于一点.钝角三角形的三条高所在直线交于一点.学科网8探究高线的特点每个三角形都有三条高线锐角三角形：直角三角形：钝角三角形：三条高线相交于一点，交点在直角三角形的直角的顶点处三条高线相交于一点，交点在三角形的内部三条高线相交于一点，交点在三角形的外部三角形的三条高所在直线交于一点，点为垂心概念学习三角形的中线在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线.ABCD∵AD是△ABC的中线∴BD=CD=12BC任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出这个三角形三条边的中线,你发现了什么?●●三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.交点叫重心EFO概念学习三角形的角平分线叫做三角形的角平分线。ABCD∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD=∠CAD=１２∠BAC任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?●●在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段,三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部，交点叫内心︶12交流探究三角形的角平分线ACBFEDO∵BE是△ABC的角平分线∴____=_____=_____21∴∠ACB=2____=2____∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF∵CF是△ABC的角平分线∠BCF三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线.尝试应用2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高()ADCBABCDABCDABCD(A)(B)(C)(D)BD尝试应用3.填空：（1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2，BD=，AE=。（2）如图（2），AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1=，∠3=，∠ACB=2。21图2FEDCBA4321图1FEDCBA21尝试应用4.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。填空：（1）BE==；（2）∠BAD==；（3）∠AFB==90°；（4）SΔABC=。21FEDCBACEBC∠CAD∠BAC∠AFCBC•AF2121探究2ABCDE尝试应用5.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.ABCDE12FGH①AD是⊿ABE的角平分线()②BE是⊿ABD边AD上的中线()③BE是⊿ABC边AC上的中线()④CH是⊿ACD边AD上的高()三角形的高、中线与角平分线都是线段×××√1、在ΔABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.ADBC三角形的中线将原三角形分成的两个三角形的面积有何关系？相等2.如图，在△ABC中,BE是边AC上的中线.已知AB=4cm,AC=3cm,BE=5cm,求△ABE的周长.AECB18△ABC中,∠A=54°,∠ACB=40°,BD、CE是角平分线,BD与CE交于点I,求∠BIC的度数.IADECB例2：193、如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠B、∠C的平分线，说明∠BPC=90˚+∠A的理由。21BACP1220拓展练习1.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质()A.是边BB′上的中线B.是边BB′上的高C.是∠BAB′的角平分线D.以上三种性质合一B'CBAD21拓展练习2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是()A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC,BD=ECD.∠C的对边是DEEDCBAD规范练习知识小结