专题20-平面向量的数量积及向量的应用知识点

1考点20平面向量的数量积及向量的应用一、平面向量的数量积1．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量,ab，我们把数量||||cosab叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab,即ab||||cosab，其中θ是a与b的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影的概念设非零向量a与b的夹角是θ，则||cosa(||cosb)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量a与b的夹角为锐角、钝角、直角时向量a在b方向上的投影的情形，其中1OB||cosa，它的意义是，向量a在向量b方向上的投影长是向量1OB的长度.（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到ab的几何意义：数量积ab等于a的长度||a与b在a方向上的投影||cosb的乘积.2．平面向量数量积的运算律已知向量,,abc和实数,则①交换律：abba；②数乘结合律：()()abab=()ab；③分配律：()abc=acbc二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量1122(,),(,)xyxyab，是a与b的夹角.2（1）数量积：ab1212||||cosxxyyab.（2）模：2211||xyaaa.（3）夹角：cos||||abab121212122222xxyyxyxy.（4）垂直与平行：0abab12120xxyy；a∥b⇔a·b=±|a||b|.【注】当a与b同向时,||||abab；当a与b反向时,ab||||ab.（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔121212222212||xxyyxyxy.三、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)xyxyab.（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：∥abab1221xyxy0(0)b（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：0abab1212xxyy0（其中,ab为非零向量）（3）求夹角问题，若向量a与b的夹角为，利用夹角公式：cos||||abab121212122222xxyyxyxy（其中,ab为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||a1122xy，或||||ABAB223434()()xxyy（其中,AB两点的坐标分别为3344(,),(,)xyxy）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.2．向量在物理中常见的应用（1）向量与力、速度、加速度及位移（2）向量与功、动量31．已知向量,ab的夹角为错误!未找到引用源。,且错误!未指定书签。,则错误!未指定书签。等于A．错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。C．错误!未找到引用源。D．错误!未找到引用源。2．已知向量a，b的夹角为2π3，且2a，4b，则2ab在a方向上的投影为A．2B．4C．6D．83．若向量,ab满足 ||||1ab,且1()2aab,则向量错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的夹角为A．错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。C．错误!未找到引用源。D．错误!未找到引用源。4．已知向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ满足A．λ−错误!未找到引用源。B．λ−错误!未找到引用源。C．λ−错误!未找到引用源。且λ≠0D．λ−错误!未找到引用源。且λ≠−55．如图,在边长为3的正方形错误!未找到引用源。中错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。交于点错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。.6．(2016年高考新课标Ⅲ卷)已知向量13(,)22BAuur,31(,),22BCuuur则ABCA．30°B．45°C．60°D．120°7．（2017年高考天津卷）在ABC△中，60A∠，3AB，2AC．若2BDDC，AEAC()ABR，且4ADAE，则的值为___________．8．（2017年高考山东卷）已知12,ee是互相垂直的单位向量，若123ee与12ee的夹角为60，则实数的值是___________．9．（2016年高考新课标Ⅰ卷）设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=___________．