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1基本初等函数一.【要点精讲】1.指数与对数运算(1)根式的概念:①定义:若一个数的n次方等于),1(Nnna且,则这个数称a的n次方根。即若axn,则x称a的n次方根)1Nnn且,1)当n为奇数时,na的次方根记作na;2)当n为偶数时,负数a没有n次方根,而正数a有两个n次方根且互为相反数,记作)0(aan②性质:1)aann)(;2)当n为奇数时,aann;3)当n为偶数时,)0()0(||aaaaaan。(2).幂的有关概念①规定:1)naaaan(N*;2))0(10aa;n个3)paapp(1Q,4)maaanmnm,0(、nN*且)1n②性质:1)raaaasrsr,0(、sQ);2)raaasrsr,0()(、sQ);3)rbababarrr,0,0()(Q)。(注)上述性质对r、sR均适用。(3).对数的概念①定义:如果)1,0(aaa且的b次幂等于N,就是Nab,那么数b称以a为底N的对数,记作,logbNa其中a称对数的底,N称真数1)以10为底的对数称常用对数,N10log记作Nlg;2)以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数,Nelog,记作Nln;②基本性质:1)真数N为正数(负数和零无对数);2)01loga;23)1logaa;4)对数恒等式:NaNalog。③运算性质:如果,0,0,0,0NMaa则1)NMMNaaaloglog)(log;2)NMNMaaalogloglog;3)nMnMana(loglogR)④换底公式:),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma1)1loglogabba;2)bmnbanamloglog。2.指数函数与对数函数(1)指数函数:①定义:函数)1,0(aaayx且称指数函数,1)函数的定义域为R;2)函数的值域为),0(;3)当10a时函数为减函数,当1a时函数为增函数。②函数图像:1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限;2)指数函数都以x轴为渐近线(当10a时,图象向左无限接近x轴,当1a时,图象向右无限接近x轴);3)对于相同的)1,0(aaa且,函数xxayay与的图象关于y轴对称③函数值的变化特征:10a1a①100yx时,②10yx时,③10yx时①10yx时,②10yx时,③100yx时,3(2)对数函数:①定义:函数)1,0(logaaxya且称对数函数,1)函数的定义域为),0(;2)函数的值域为R;3)当10a时函数为减函数,当1a时函数为增函数;4)对数函数xyalog与指数函数)1,0(aaayx且互为反函数②函数图像:1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限;2)对数函数都以y轴为渐近线(当10a时,图象向上无限接近y轴;当1a时,图象向下无限接近y轴);4)对于相同的)1,0(aaa且,函数xyxyaa1loglog与的图象关于x轴对称。③函数值的变化特征:(3)幂函数1)掌握5个幂函数的图像特点2)a0时,幂函数在第一象限内恒为增函数,a0时在第一象限恒为减函数3)过定点(1,1)当幂函数为偶函数过(-1,1),当幂函数为奇函数时过(-1,-1)当a0时过(0,0)4)幂函数一定不经过第四象限10a1a①01yx时,②01yx时,③010yx时.①01yx时,②01yx时,③100yx时.4四.【典例解析】题型1:指数运算例1.(1)计算:25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(;(2)化简:5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa。解:(1)原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(922)2917(21]1024251253794[;(2)原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa。点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序。例2.(1)已知11223xx,求22332223xxxx的值解:∵11223xx,∴11222()9xx,∴129xx,∴17xx,∴12()49xx,∴2247xx,又∵331112222()(1)3(71)18xxxxxx,5∴223322247231833xxxx。点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算。题型2:对数运算(2).(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()yfx的图象经过点1(2,)8,则满足()fx=27的x的值是.答案13例3.计算(1)2(lg2)lg2lg50lg25;(2)3948(log2log2)(log3log3);(3)1.0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23解:(1)原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5(11)lg22lg52(lg2lg5)2;(2)原式lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3()()()()lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg23lg25lg352lg36lg24;(3)分子=3)2lg5(lg2lg35lg3)2(lg3)2lg33(5lg2;分母=41006lg26lg101100036lg)26(lg;原式=43。点评:这是一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种技巧例4.设a、b、c为正数,且满足222abc(1)求证:22log(1)log(1)1bcacab;(2)若4log(1)1bca,82log()3abc,求a、b、c的值。6证明:(1)左边222logloglog()abcabcabcabcabab22222222222()22loglogloglog21abcaabbcabccababab;解:(2)由4log(1)1bca得14bca,∴30abc……………①由82log()3abc得2384abc………………………②由①②得2ba……………………………………③由①得3cab,代入222abc得2(43)0aab,∵0a,∴430ab………………………………④由③、④解得6a,8b,从而10c。点评:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3:指数、对数方程例5.(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数abxfxx122)(是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意的Rt,不等式0)2()2(22ktfttf恒成立,求k的取值范围.解(1)因为)(xf是R上的奇函数,所以1,021,0)0(babf解得即从而有.212)(1axfxx又由aaff1121412)1()1(知,解得2a(2)解法一:由(1)知,121212212)(1xxxxf由上式易知)(xf在R上为减函数,又因)(xf是奇函数,从而不等式0)2()2(22ktfttf等价于).2()2()2(222ktfktfttf因)(xf是R上的减函数,由上式推得.2222kttt即对一切,0232kttRt有从而31,0124kk解得解法二:由(1)知,2212)(1xxxf又由题设条件得0221222121221222222ktkttttt即0)12)(22()12)(22(2222212212ktttttkt整理得12232ktt,因底数21,故0232ktt7上式对一切Rt均成立,从而判别式.31,0124kk解得例6.(2008广东理7)设aR,若函数3axyex,xR有大于零的极值点,则(B)A.3aB.3aC.13aD.13a【解析】'()3axfxae,若函数在xR上有大于零的极值点,即'()30axfxae有正根。当有'()30axfxae成立时,显然有0a,此时13ln()xaa,由0x我们马上就能得到参数a的范围为3a.点评:上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式,解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式,再来求解。题型4:指数函数的概念与性质例7.设1232,2()((2))log(1)2.xexfxffxx<,则的值为,()A.0B.1C.2D.3解:C;1)12(log)2(23f,eeff22))2((10。点评:利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值例8.已知)1,0()(log1aaxxxfa且试求函数f(x)的单调区间。解:令txalog,则x=ta,t∈R。所以taatf)(即xxaaxf)(,(x∈R)。因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,故只需讨论f(x)在[0,+∞)上的单调性。任取1x,2x,且使210xx,则)()(12xfxf)()(1122xxxxaaaa212121)1)((xxxxxxaaaa(1)当a1时,由210xx,有210xxaa,121xxa,所以0)()(12xfxf,即f(x)在[0,+∞]上单调递增。(2)当0a1时,由210xx,有210xxaa,121xxa,所以0)()(12xfxf,即f(x)在[0,+∞]上单调递增。综合所述,[0,+∞]是f(x)的单调增区间,(-∞,0)是f(x)的单调区间。点评:求解含指数式的函数的定义域、值域,甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分10,1aa两种情况来处理。8题型5:指数函数的图像与应用例9.若函数myx|1|)21(的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是()A.m≤-1B.-1≤m0C.m≥1D.0m≤1解:)1(2)1()21()21(11|1|xxyxxx,画图象可知-1≤m0。答案为B。点评:本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征,解题的出发点仍然是1,0,1aa两种情况下函数xay的图像特征。例10.设函数xxfxfxx22)(,2)(|1||1|求使的取值范围。解:由于2xy是增函数,()22fx等价于3|1||1|2xx①1)当1x时,|1||1|2xx
本文标题:(完整)人教版高一数学必修一基本初等函数解析
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