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穿针引线法释义:“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。准确的说,应该叫做“序轴标根法”。序轴:省去原点和单位,只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中,左边的点表示的数比右边的点表示的数小。当高次不等式f(x)0(或0)的左边整式、分式不等式φ(x)/h(x)0(或0)的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积(x-a1)(x-a2)…(x-an)的形式,可把各因式的根标在数轴上,形成若干个区间,最右端的区间f(x)、φ(x)/h(x)的值必为正值,从右往左通常为正值、负值依次相间,这种解不等式的方法称为序轴标根法。为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向,这种画法俗称“穿针引线法“。使用步骤:第一步:通过不等式的诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。(注意:一定要保证x前的系数为正数)例如:将x^3-2x^2-x+20化为(x-2)(x-1)(x+1)0第二步:换号。将不等号换成等号解出所有根。例如:(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为:x1=2,x2=1,x3=-1第三步:标根。在数轴上从左到右依次标出各根。例如:-112第四步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根。第五步:观察不等号,如果不等号为“”,则取数轴上方,穿根线以内的范围;如果不等号为“”,则取数轴下方,穿根线以内的范围。例如:若求(x-2)(x-1)(x+1)0的根。在数轴上标根得:-112画穿根线:由右上方开始穿根。因为不等号为“”则取数轴上方,穿根线以内的范围。即:-1x1或x2注意:一、重根时,奇穿偶不穿出现重根时,机械地“穿针引线”例2解不等式(x+1)(x-1)^2(x-4)^30解将三个根-1、1、4标在数轴上,原不等式的解集为{x|x-1或1x4}。这种解法也是错误的,错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时,所画的浪线遇到“偶次”点(即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴,仍在数轴的同侧折回,只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过数轴,正确的解法如下:解将三个根-1、1、4标在数轴上,画出浪线图来穿过各根对应点,遇到x=1的点时浪线不穿过数轴,仍在数轴的同侧折回;遇到x=4的点才穿过数轴,于是,可得到不等式的解集{x|-1x4且x≠1}奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字。这个数字要按照几个数字穿。如(x-1)2=0两个解都是1,那么穿的时候不要透过1,同样的,如果是三个1,则应该穿透1.可以简单记为,秘籍口诀:或“自上而下,从右到左,奇穿偶不穿”(也可以这样记忆:“自上而下,自右而左,奇穿偶回”或“奇穿偶连”)。二、x系数必须为正出现形如(a-x)的一次因式时,匆忙地“穿针引线”。例1解不等式x(3-x)(x+1)(x-2)0。解x(3-x)(x+1)(x-2)0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1可得原不等式的解集为{x|x-1或0x2或x3}。事实上,只有将因式(a-x)变为(x-a)的形式后才能用序轴标根法,正确的解法是:解原不等式变形为x(x-3)(x+1)(x-2)0,将各根-1、0、2、3依次标在数轴上,由图1,原不等式的解集为{x|-1x0或2x3}。三、特殊情况分析后再穿根出现不能再分解的二次因式时,不能简单地放弃“穿针引线”例3解不等式x(x+1)(x-2)(x^3-1)0解原不等式变形为x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)0,有些同学同解变形到这里时,认为不能用序轴标根法了,因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积,事实上,根据这个二次因式的符号将其消去,再运用序轴标根法即可。解原不等式等价于x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)0,∵x^2+x+10对一切x恒成立,∴x(x-1)(x+1)(x-2)0,由图4可得原不等式的解集为{x|x-1或0x1或x2}
本文标题:不等式穿针引线法
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