等比数列前n项和公式的推导和运算1

复习:等比数列{an}an+1an=q(定值)(1)等比数列:(2)通项公式:an=a1•qn-1(3)重要性质:n-man=am•qm+n=p+qan•aq•am=ap注:以上m,n,p,q均为自然数这两个重要性质的变化.应用可大哩!你掌握了吗?国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说。国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上１粒麦子，在第２个格子里放上２粒麦子，在第３个格子里放上４粒麦子，在第４个格子里放上８粒麦子，依此类推，每个格子里放的麦子数都是前一个格子里放的麦子数的２倍，直到第６４个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求。”你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？由于每个格子里的麦子数都是前一个格子里的麦子数的２倍，且共有６４个格子，所以各个格子里的麦粒数依次是：１，２，２２，２３，…，２６３一、导入新课：633222221S即，①②－①得即.,12264SS1264S由此对于一般的等比数列，其前项和n112111nnqaqaqaaS，如何化简？二、新课讲解64633222222②S2推导公式等比数列前n项求和公式已知：等比数列{an}，a1，q，n求：Sn通项公式:an=a1•qn-1解：Sn=a1+a2+a3+a4+…+anqsn+=a1q+++a1qa1q23…+a1qn-1a1qn作减法(1-q)Sn=a1-a1qnSn={na1（1-q)1-q(q=1)(q=1)n·a1a1qa1q23…a1qn-1=a1+a1q++++作减法等比数列前n项求和公式通项公式:an=a1•qn-1Sn=na1(1-q){1-q(q=1)(q=1)n·a1等比数列{an}Sn=a1-anq{1-q(q=1)(q=1)n·a1a1qna1•qqn-1•anq去看看练习吧!例1、求下列等比数列前8项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa解：时所以当8n256255211211218nS:,2431,2791可得由aa)2(8272431q)1(因为21,211qa可得：又由,0q31q时于是当8n811640)31(1311278nS:a2n量中，求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.314,512,1)3(1nsaa求,2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqasqaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入将qqaannnnSSaa111341,512,21)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，，，时，数列为常数列当nqqannnSq)1(11)1(1])1(1[21)1(1时，当说明：选择适当的公式。并且要根据具体题意，中，只知三可求二，在五个变量nnSanqa,,,,1２.１.作为第一要素来考虑。的取值，应把它意在利用公式，一定要注q？台（结果保留到个位）可使总销售量达到几年，那么从今年起，大约比上一年的销售量增加售量台，如果平均每年的销某商场今年销售计算机30000%105000：例3解：30000,1.1%)101(,50001nSqa数列，每年的销售量成等比由题意可知，从今年起值。的，求满足比数列分析：本例相当于在等nSann300001.11)1.11(500030000n由公式得：6.11.1n整理得,6.1lg1.1lgn两边取对数，得5041.02.06.1lg1.1lgn用计算器算得台。年可使总销售量达到答：从今年起，大约300005(1)等比数列前n项和公式：等比数列前n项和公式你了解多少？Sn={1-q(q=1)(q=1)qaan11naSn={1-q(q=1)(q=1))1(1nqa1na(2)等比数列前n项和公式的应用：1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提；２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导.n,,,,1132nsxxx项和的前、求等比数列台厂的销售总量是多少万年内该家电，问从今年起每一年比上一年增加内万台，计划在以后量是、某家电厂去年的销售10%10102aqnsn、求,126,128,66)1(3121nnnaaaaa中，在等比数列、,14,n)2(nnnssa若项和为的前设等比数列nnss32,126求?n,,,,1132nsxxx项和的前、求等比数列xqa,11解：由已知条件得，nSxxnn11所以)1()1(xxxxxxnnnS111)1(1时，当1xnnaSn1时，当1x?10%10102台厂的销售总量是多少万年内该家电，问从今年起每一年比上一年增加内万台，计划在以后量是、某家电厂去年的销售a总量组成等比数列。起，每年家电厂的销售解：由题意得，从今年101.1%1011.1%)101(1nqaaa，，)11.1(1.1101.11)1.11(1.11010aSa所以.)11.1(1.11010万台量是年内该家电厂的销售总答：从今年起a,128,66)1(3121nnnaaaaa中，在等比数列、qnsn、求,1261286612866111121nnnnaaaaaaaa解：的两根是方程012866,21xxaan26464211nnaaaa或解得：1,1qaan126,64,2111qqaannnsaa则若①2,1261642qqq即即6,2264,111nqaannn又②6,,2,64211nqaan则同理可得若2,6,21或综上所述qn,14,n)2(nnnssa若项和为的前设等比数列nnss32,126求1262,14,1121nasnasqnn则解：若矛盾1q1261141212111nqannqanqsqs①②891nnqq两式相比得：211qa得：①代入10228121133131311nqaqanqqs等比数列前n项和的公式(1)北京七中刘英毅等比数列前n项和的公式(1)北京七中刘英毅有一个古老的故事：国王为了奖励国际象棋的发明者，问他要什么奖励。他说：“请国王在棋盘的第一个格子里放一粒米，在第二个格子里放两粒米，以后每个格子里的米是前一个格子里米的2倍，放满棋盘的64个格子，这就是我要的奖励。”国王以为很容易，答应了他的请求，结果，把粮库所有的米都拿来，还远远不够。为什么呢？一共需要多少米？怎么算？S=1+21+22+23+…+263*等比数列{an}中，已知a1,q,an,求Sn。等比数列前n项和公式的推导当q=1时Sn=na1因为所以(一)用等比性质推导等比数列前n项和公式（法2）借助和式的代数特征进行恒等变形qqaaSnn11当q=1时，1naSnnnaaaaS...321)...(13211naaaaqa)(1nnaSqa当q≠1时，S64=1+2+22+…+262+263(1)2S64=2+22+23…+263+264(2)S64=1+2+22+23…+263(1)2S64=2+22+23…+263+264(2)S64=1+2+22+23+…+263(1)2S64=2+22+23+…+263+264(2)(2)–(1)得S64=264–1想一想：如何计算112111...nnqaqaqaaS上述几种求和的推导方式中第一种依赖的是进行推导,第二种则是根据而得,而第三种方法我们称之为等比定理方程思想错位相减法1、自编一个等比数列，然后求它的前n项和。2、求和：变题1：去掉变题23作业课后作业课本P133_1、2、5思考题：(1)求前n项的和。(2)求1、自编一个等比数列，然后求它的前n项和。2、求和：变题1：去掉变题2：3作业1、自编一个等比数列，然后求它的前n项和。2、求和：变题1：去掉3、已知a1=2,S3=26,求q与a3.作业1、自编一个等比数列，然后求它的前n项和。2、求和：变题1：去掉变题2：3、已知a1=2,S3=26,求q与a3.作业