与球有关的切、接问题(有答案)

与球有关的切、接问题1．球的表面积公式：S＝4πR2；球的体积公式V＝43πR32．与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，连接CD，SE为正四面体的高，在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时，CO＝OS＝R，OE＝r，SE＝23a，CE＝33a，则有R＋r＝23a，R2－r2＝|CE|2＝a23，解得R＝64a，r＝612a.(2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a，则|OJ|＝r＝a2(r为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO|＝R＝22a.③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆，则|A1O|＝R′＝32a.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A1­AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD­A1B1C1D1的外接球的球心重合．如图，设AA1＝a，则R＝32a.②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝a2＋b2＋c24＝l24(l为长方体的体对角线长)．角度一：正四面体的内切球1．(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2＝________.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·34·a2＝3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2π6a2＝63π.角度二：直三棱柱的外接球2．(2015·唐山统考)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A．2B．1C.2D.22解析：选C由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中心．设正方形BCC1B1的边长为x，Rt△OMC1中，OM＝x2，MC1＝x2，OC1＝R＝1(R为球的半径)，∴x22＋x22＝1，即x＝2，则AB＝AC＝1，∴S矩形ABB1A1＝2×1＝2.角度三：正方体的外接球3．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴2R＝23(R为球的半径)，∴R＝3，∴球的体积V＝43πR3＝43π.答案：43π角度四：四棱锥的外接球4．(2014·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4B．16πC．9πD.27π4解析：选A如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，∵正四棱锥P­ABCD中AB＝2，∴AO′＝2.∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝(2)2＋(4－R)2，解得R＝94，∴该球的表面积为4πR2＝4π×942＝81π4，故选A.[类题通法]“切”“接”问题的处理规律1．“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．2．“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[牛刀小试]1．(2015·云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于()A．100πB.100π3C．25πD.25π3解析：选A易知该几何体为球，其半径为5，则表面积为S＝4πR2＝100π.2．(2014·陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A.32π3B．4πC．2πD.4π3解析：选D因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝1212＋12＋22＝1，所以V球＝4π3×13＝4π3.故选D.3．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为()A．33B.3C．26D．23解析：选D设正六棱柱的高为h，则可得(6)2＋h24＝32，解得h＝23.4．(2015·山西四校联考)将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A­BCD，则四面体A­BCD的外接球的体积为________．解析：设AC与BD相交于O，折起来后仍然有OA＝OB＝OC＝OD，∴外接球的半径r＝32＋422＝52，从而体积V＝4π3×523＝125π6.5．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________．解析：设等边三角形的边长为2a，则V圆锥＝13·πa2·3a＝33πa3；又R2＝a2＋(3a－R)2，所以R＝233a，故V球＝4π3·233a3＝323π27a3，则其体积比为932.[高考全国课标卷真题追踪]1．（15课标1理）已知,AB是球O的球面上两点，090AOB,C为该球面上的动点，若OABC三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为（C）(A)36(B)64(C)144(D)2562.（13课标1理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为(A)（A）3cm3500π（B）3cm3866π（C）3cm31372π（D）3cm32048π3.（12课标理）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC,则此棱锥的体积为（A）(A)26(B)36(C)23（D）224.（12课标文）平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为2,则此球的体积为（B）（A）6π（B）43π（C）46π（D）63π5.（10新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(B)(A)2a(B)273a(C)2113a(D)25a6.（10新课标文）设长方体的长、宽、高分别为2,,aaa,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(B)（A）23a（B）26a（C）212a（D）224a7．（07新课标文）已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球心O在AB上,SO底面ABC,2ACr,则球的体积与三棱锥体积之比是（Ｄ）Ａ.πＢ.2πＣ.3πＤ.4π8.（13新课标2文）已知正四棱锥OABCD的体积为322,底面边长为3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为24。9.（13新课标1文）已知H是球O的直径AB上一点,:1:2AHHB,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为__。10.（11新课标理）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且6,23ABBC,则棱锥OABCD的体积为83.11.（11新课标文）已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为31.12.（08新课标理）一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为3,那么这个球的体积为43那是心与心的交汇，是相视的莞尔一笑，是一杯饮了半盏的酒，沉香在喉，甜润在心。我无所谓成功不成功，但我在乎我自己的成长；我无法掌握别人，但我可以掌握自己。我唯一能把握的，是我会一直尽力走下去，不为了别人，为了给自己一个交代。这个世界上有太多的事情是我们无法掌握的，你不知道谁明天会离开，你不知道意外和你等的人谁先到来。最可怕的是因为怕失去而放弃拥有的权利。我们都会遇到很多人，会告别很多人，会继续往前走，也许还会爱上那么几个人，弄丢那么几个人。关键在于，谁愿意为你停下脚步？对于生命中每一个这样的人，一千一万个感激。有一些人、一些事是不需要理由的：比如天空的颜色；比如连你自己都不知道为什么会喜欢上的那个人；比如昨天擦肩而过的人变成了你今天的知己。梦想这东西，最美妙的在于你可以制造它，重温它。看一本书，听一首歌，去一个地方，梦想就能重新发芽，那个在你体内扎根的与生俱来的梦想。我们唯一能把握的事情是，成为最好的自己，我们可以不成功，但是我们不能不成长，没有什么比背叛自己更可怕。你唯一能把握的，是变成最好的自己。也许你最后也没能牵到那个人的手，但是你付出了就不会有遗憾；也许最后你也只是默默无闻，但你曾经为了将来努力地奋斗了一把；也许你最后也没能环游世界，可是你在实现梦想的途中找到了自己。那是能够为了一个目标默默努力的自己，不抱怨，不浮躁，不害怕孤单，沉默却又努力的自己。说不定你想要苦苦追寻的梦想，已经握在你手中了。