清华大学结构力学第九章

第九章渐近法§９-1力矩分配法基本概念§９-2多结点力矩分配§９-3无剪力分配法§９-1力矩分配法基本概念力矩分配法源自位移法，不必求解方程组，只需按表格进行计算，计算方便、快捷。力矩分配法是逐步逼近（对多结点力矩分配）精确解的计算方法，是渐近法，不是近似法。力矩分配法只适用于连续梁和无结点线位移的刚架。一、转动刚度a)SAB=4i，远端为固端下面讨论等截面直杆的转动刚度。转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于使杆端产生单位转角（无线位移）时所需施加的力矩。用符号S表示，见下面各图。施力端为近端，另一端为远端。SAB1AiAB当A端产生单位转角时，A端无线位移。转动刚度SAB只取决于远端支承条件及杆件的线刚度。b)SAB=3i，远端为滚轴支座或铰支座。d)SAB=0，远端为滚轴支座，沿杆轴布置。c)SAB=i，远端为滑动支座。1ASABiAB1ASABiAB1ASABiAB二、分配系数杆端弯矩表达式：440=02=26=6ABAABAABACACAACADAADAADAEAAEAACMiSSiMSSMiSSiMiSSi用位移法求解右图示结构，未知量为θA。ii2i2iBCADEM0平衡方程为：E0ABACADAMMMMM0AME0()ABACADAASSSSM00EAABACADAMMSSSSSE12ABACADASSSSSiAMAEMADMABMACM0回代求杆端弯矩：AB0AB000ABS411====1233ABABABASiMSMMMMSiSAD0AD000ADS211====1266ADADADASiMSMMMMSiSAE0AE000AES611====1222AEAEAEASiMSMMMMSiSAC00ACACSMS对某结点，各杆分配系数之代数和为1，即：1111362由上式可以看出，结点力偶M0按系数μ的比例分配给各杆端。系数μ称为分配系数，某杆的分配系数μ等于该杆的转动刚度S与交于同一结点的各杆转动刚度之和的比值，即S/iiSS。三、传递系数12BAABABMCM0BAABABMCM当近端有转角时（无线位移），远端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示。1BAABABMCM在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端弯矩乘传递系数，即。BAABABMCMAiAB4ABAMi2BAAMiAiAB3ABAMiABAMiBAAMiAiAB0BAM四、单结点力矩分配用位移法解图a)所示结构时，首先在结点B加上附加转动约束，锁住B使之不能转动。其产生的反力矩MB等于各杆端固端力矩的代数和，见图b)。BMB=60kN.m150kN.m-90kN.m200kN3m3m6m20kN/mABCEIEI60.BMkNm150.kNm150.kNm90.kNm200kN20kN/mABCb)a)其次放松结点B，即在结点B加－MB，这是结构受结点力矩作用的情况，可以用力矩分配法进行计算，见图c）。ABC60.BMkNmBc)2）求固端弯矩6EIi4BASi3BCSi30.4297BC40.5717BA12006150.8FABMkNm12006150.8FBAMkNm2120690.8FBCMkNm(15090)60.BMkNm1）求分配系数结点B约束力矩为：解：结点B分配力矩为：60.BMkNm3）运算格式分配系数固端弯矩分配传递杆端弯矩4）作弯矩图ACBA0.5710.429BC-150150-90-34.26-25.74-167.13115.74-115.740-17.130ABC167.13115.74158.5632.13M图（kN.m）例题9-1-1作图示刚架M图。4EIi3BASi236BCSii60.46213BC30.23113BA4BDSi40.30713BD1）求分配系数2m2m4m4m12kN6kN/m10.kNmII(i)(i)2I(2i)ABCD解：31249.16FBAMkNm16168.12FBDMkNm16168.12FDBMkNmMBB9-810.kNm10(98)9.BMkNm9.BMkNm2)求固端弯矩结点约束力矩为：分配力矩为：3)运算格式BA0.2310.462BC0.307BDDAC89-801.382.084.162.76011.084.169.38-5.2404)作弯矩图5)讨论若结点力矩为逆时针方向，则：10(98)11.BMkNm11.BMkNmMBB9-810.kNmABCD11.085.249.384.164.696.46M图（kN.m）例9-1-2讨论悬臂端的处理。200kN20kN/mABCEIEI30kND3m3m6m2ma)60.KNm30kND2mC200kN20kN/mABCEIEI3m3m6mb)解：切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向的力矩60kN.m，该力矩在BC杆产生固端弯矩，见图b）。150903090.BMkNm90.BMkNm2BCCMi4CBCMiBA0.5710.429BC-51.39-38.61ACD-150150-9060-60-175.7098.61-98.6160-6030-25.700CiBCCM图（kN.m）175.7098.6160ABC162.8510.70D§9-2多结点力矩分配一、多结点力矩分配1）锁住结点B、C，各杆产生固端弯矩。结点约束力矩：30.FCCBMMkNm30.FBBCMMkNmABCEIEID60kNEI4m2m2m4mABCD60kN30BM30CM-3030EIEIEI2）放松结点B，即在结点B施加力矩-MB，结点C仍锁住。这相当于做一个单结点力矩分配。结点C约束力矩变为：'37.5.CMkNmBCD30BM307.537.5CM157.5157.5A3）重新锁住结点B，同时放松结点C，即在C施加力矩，这又相当于做一个单结点力矩分配。结点B新的约束力矩为'CM'9.375.BMkNm-9.375ABCD'9.375BM'37.5CM-18.75-9.375-18.754）重新锁住结点C，同时放松结点B，即在B施加力矩，这又相当于做一个单结点力矩分配。结点C约束力矩变为BM''2.344.CMkNm如此循环，可见连续梁的变形曲线越来越接近实际的变形曲线，即越来越趋近于精确解。所谓多结点力矩分配，本质上是单结点力矩分配。通常各结点做两轮至三轮分配运算，就可以达到满意的精度。ABCD'9.375BM''2.344CM4.6882.3444.6882.3442BASi4BESi40.410BE20.210BA4BCSi40.410BC44BCEIii44BEEIii422BAEIii2233CDEIii结点B例9-2-1作图示刚架M图。1)求分配系数结点C4CBSi2323CDSii20.3336CD40.6676CB解：2m4m4m18kN/m4I4I(2i)(i)4I(i)BEDA6kN/m2I(2i/3)C3m2)求固端弯矩21624.6FABMkNm21628.3FBAMkNm2118424.12FBCMkNm24.FCBMkNm2m4m4m18kN/m4I4I(2i)(i)4I(i)BEDA6kN/m2I(2i/3)C3m3)运算格式EADBA0.20.4BE0.4BCCB0.6670.333CD-242484-8-16-84.89.69.6-1.6-3.2-1.60.320.640.64-0.107-0.2134.8-4.84.80.32-0.320.3213.1210.24-23.36-1.129.71-9.715.124)作弯矩图小结：1）分配运算通常从约束力矩较大的结点开始，这样收敛较快。2）若停止分配运算，就不应再向中间结点的杆端传递弯矩。BEDAC1.1213.1223.3610.245.129.7119.47M图（kN.m）例9-2-2《结构力学教程（Ι）》第456页例9-4的说明（2000年7月第1版）。ABCDEIEI5ii50kN1m5m1m105/61/6-505025-4.2-20.8-20.820.850-50ADBC3515BASii3BCSi16BC56BA说明：1）在计算B结点各杆的分配系数时，C结点不锁住，即C结点处看作铰支座。2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩的求解问题。3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方法。D50kN1m50.kNmCABCEIEI5ii1m5m二、几个问题的讨论1.对称结构的计算对称结构在对称荷载作用下，结构无侧移，可以利用力矩分配法计算。根据位移法中的讨论，取半边结构以简化计算。ABq2q1q1ABq2此杆转动刚度S=02.多结点时的分配下图示结构，锁住结点C，放松结点B、D，即结点B、D同时分配并向结点C传递。然后锁住结点B、D，放松结点C，即结点C进行分配并向B、D传递，依此类推。3/74/70.50.54/73/7BCDAE-17.14-12.8634.2945.7122.86-8.57-32.15-32.15-508050-80-16.07-16.07下图示刚架，打×的结点为一组，其余为另一组。两组结点依次锁住或放松，可大大加快计算速度。§9-3无剪力分配法力矩分配法只适用于无侧移刚架或连续梁。因为若刚架的内部结点有侧移△，则力矩分配法中的分配关系和传递关系均不能成立。有一类刚架，其内部结点虽然有线位移△，但△可以不取作位移法的基本未知量，对这类刚架也可以求得类似于力矩分配法中的分配关系和传递关系，于是可以按照力矩分配法的格式进行计算，此即为无剪力分配法。一、概述二、基本概念1．适用无剪力分配法的条件1）刚架除两端无相对侧移的杆件外；2）其余杆件为剪力静定杆（即剪力只取决于外荷载）。若结构中只存在下列两类杆件，则适用于无剪力分配法。下面用位移法解上题，基本未知量取θB，△BH不必作为未知量。2．无剪力分配法的概念锁住结点B放松结点B原结构产生固端弯矩约束力矩反号分配qABCEI，lEI，lEIilqABCMB（约束力矩）iABC-MBiBABBiiBBi216BABMiql213ABBMiql3BCBMi0BABCMM21406Biql杆端弯矩表达式位移法方程弯矩图218ql238qlM图ABC2124Bqli（）由上面的讨论可得出如下结论：1）剪力静定杆AB在B端的转动刚度为SBA=iBA,传递系数为CBA=-1。2）剪力静定杆AB的固端弯矩按下端固定、上端滑动的单跨梁查表求得。qABBASi3BCSi0.75BC0.25BA216FBAMql213FABMql下面用无剪力分配法解上题。1）求转动刚度及分配系数2）求固端弯矩EIilqABCEI，lEI，l3）运算格式ACBA0.250.75BC-ql2/6ql2/24ql2/8-ql2/3-ql2/24-ql2/8ql2/8-3ql2/8弯矩图见前页。如右图示，放松结点B，AB杆剪力等于零。小结：1）在放松结点B，即约束力矩MB反号分配的始终，剪力静定杆之剪力始终等于零，所以称为无剪力分配法。2）若刚架横梁的两端无相对侧移，柱的剪力静定，则该刚架可用无剪力分配法计算。iABCiB3）对于剪力静定杆：转动刚度S=i；传递系数C=-1；按下端固定，上端滑动的单跨梁求固端弯矩。三、双层半刚架横梁AB、CD两端无相对侧移，柱AC、C