正弦型函数(教师版)

中小学个性化辅导专注品质教育，关注孩子成长1/11正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用【2015年高考会这样考】1．考查正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用．3．考查y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径．【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．基础梳理1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：中小学个性化辅导专注品质教育，关注孩子成长2/11(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝M－m2，k＝M＋m2，ω由周期T确定，即由2πω＝T求出，φ由特殊点确定．一个区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．两个注意作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A版教材习题改编)y＝2sin2x－π4的振幅、频率和初相分别为()．A．2，1π，－π4B．2，12π，－π4C．2，1π，－π8D．2，12π，－π8答案A2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的中小学个性化辅导专注品质教育，关注孩子成长3/11最小正周期T和初相φ分别为()．A．T＝6π，φ＝π6B．T＝6π，φ＝π3C．T＝6，φ＝π6D．T＝6，φ＝π3解析由题图象知T＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A＝2，可得sinπ3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6.答案C3．函数y＝cosx(x∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为()．A．－sinxB．sinxC．－cosxD．cosx解析由图象的平移得g(x)＝cosx＋π2＝－sinx.答案A4．设ω＞0，函数y＝sinωx＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是()．A.23B.43C.32D．3解析y＝sinωx＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y1＝sinωx－4π3＋π3＋2＝sinωx＋π3－4π3ω＋2，又y与y1的图象重合，则－4π3ω＝2kπ(k∈Z)．∴ω＝－32k.又ω＞0，k∈Z，∴当k＝－1时，ω取最小值为32，故选C.答案C中小学个性化辅导专注品质教育，关注孩子成长4/115．(2011·重庆六校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析由题意设函数周期为T，则T4＝23π－π3＝π3，故T＝43π.∴ω＝2πT＝32.答案32考向一作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象【例1】►设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且fπ4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．[审题视点](1)由已知条件可求ω，φ；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．解(1)周期T＝2πω＝π，∴ω＝2，∵fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sinφ＝32，∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.中小学个性化辅导专注品质教育，关注孩子成长5/11(2)由(1)知f(x)＝cos2x－π3，列表如下：2x－π3－π30π2π32π53πx0π6512π23π1112ππf(x)1210－1012图象如图：(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω来确定平移单位．【训练1】已知函数f(x)＝3sin12x－π4，x∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？解(1)列表取值：xπ232π52π72π92π12x－π40π2π32π2πf(x)030－30描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．中小学个性化辅导专注品质教育，关注孩子成长6/11(2)先把y＝sinx的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．考向二求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例2】►(2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．[审题视点]由最高、最低点确定A，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.解析由图可知：A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋π3，令k＝0，ω＝2πT＝2，又函数图象经过点π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π3，所以f(0)＝2sinπ3＝62.答案62解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．【训练2】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．中小学个性化辅导专注品质教育，关注孩子成长7/11(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．解(1)观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sinφ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin2x＋π6.(2)设2x＋π6＝B，则函数y＝2sinB的对称轴方程为B＝π2＋kπ，k∈Z，即2x＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解上式得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，∴f(x)＝2sin2x＋π6的对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．考向三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M2π3，－2.中小学个性化辅导专注品质教育，关注孩子成长8/11(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈π12，π2时，求f(x)的值域．[审题视点]先由图象上的一个最低点确定A的值，再由相邻两个交点之间的距离确定ω的值，最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x的范围，求得2x＋π6的范围，再求得f(x)的值域．解(1)由最低点为M2π3，－2，得A＝2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T2＝π2，即T＝π，所以ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M2π3，－2在图象上，得2sin2×2π3＋φ＝－2，即sin4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，所以φ＝2kπ－11π6(k∈Z)．又φ∈0，π2，所以φ＝π6.故f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)因为x∈π12，π2，所以2x＋π6∈π3，7π6.当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)取得最小值－1.故函数f(x)的值域为[－1,2]．利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx＋φ的范围，即把ωx＋φ看作一个整体．【训练3】(2011·南京模拟)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象过点Pπ12，0，图象上与点P最近的一个最高点是Qπ3，5.中小学个性化辅导专注品质教育，关注孩子成长9/11(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间．解(1)依题意得：A＝5，周期T＝4π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点Pπ12，0，∴5sinπ6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6∴y＝5sin2x－π6.(2)由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得：－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，故函数f(x)的递增区间为：kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】(1)求三角函数的最值是高考的一个热点．在求解中，一定要注意其定义域，否则容易产生错误．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题．【解决方案】①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数，可通过引入辅助角φcosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，将原式化为y＝a2＋b2·sin(x＋φ)＋c的形式后，再求值域(或最值)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设t＝sinx，将原式化为二次函数y＝at2＋bt＋c的形式，进而在t∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cos中小学个性化辅导专注品质教育，关注孩子成长10/11x，将原式化为二次函数y＝±12a(t2－1)＋bt＋c的形式，进而在闭区间t∈[－2，2]上求最值．【示例】►(本题满分12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．首先化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，由T＝2πω求得：由x∈－π6，π4，求得ωx＋φ的范围，从而求得最值．[解答示范](1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6