中职教育-数学(基础模块)下册--第六章--数列.ppt

第六章数列数学（基础模块）下册在自然界和日常生活中，我们经常会遇到按照一定次序排列的一列数．例如，假设每一对新生的小兔子要一个月后才能到成熟期，且一对成熟的兔子每一个月都会生一对小兔子．若现在有一对小兔子，则以后每个月兔子的对数依次为（如图6-1所示）53211图6-1若要计算一年后共有兔子多少对，就需要应用数列的知识．•数列的概念6.1•等差数列6.2•等比数列6.36.1数列的概念6.1.1数列的定义观察全体自然数从小到大排成一列数为①01234，，，，，…2,4,6,8,10的倒数排成一列数为②11111246810，，，，观察无穷多个3构成一列数为2006～2012年某市普通高中生人数（单位：万人）构成一列数为③33333，，，，，…④8293105119129130132，，，，，，像这样，按照一定次序排成的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项．观察所以，数列的一般形式可以写成简记为{an}．其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，…，n分别称为对应各项的项数．项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上面的例子中，数列②④为有穷数列，数列①③为无穷数列．123naaaa，，，，，……6.1.2数列的通项公式如果数列{an}的第n项与项数n之间可以用一个公式来表达，那么这个公式就称为这个数列的通项公式．例如，数列①的通项公式为*nannN，例如，数列②的通项公式为1{12345}2nann，，，，，例如，数列③的通项公式为*3nanN，像数列③这样各项都相等的数列称为常数列．例题解析例1写出下列数列的一个通项公式，使其前4项分别是下列各数．（1）1111234，，，（2）2020，，，解：（1）观察数列的前4项与其项数的关系，，，。1+11(1)1a2+12(1)2a3+13(1)3a4+14(1)4a由此可知，该数列的通项公式为+1(1)nnan解：（2）观察数列的前4项与其项数的关系由此可知，该数列的通项公式为，，，。1+11(1)1a2+12(1)1a3+13(1)+1a4+14(1)1a+1(1)1nna例题解析例2已知数列的通项公式为an=10+2n，求：（1）数列的前4项；（2）数列的第10项；（3）若54为该数列的一项，请计算它的项数．解：（3）an=10+2n=54，n=22.所以，54为该数列的第22项．（1），，，．所以，数列的前4项是12,14,16,18．1102112a2102214a3102316a4102418a（2）数列的第10项是101021030a例题解析例3某水泥厂生产水泥，今年的产量为18万吨，由于技术改造，计划每年增产15%，写出从今年开始5年内每年的产量排成的数列，并写出通项公式．解：118a21810.15181.15a（）23181.1510.15181.15a（）234181.1510.15181.15a（）345181.1510.15181.15a（）故该数列为23418181.15181.15181.15181.15，，，，其通项公式为1181.15{12345}nnan，，，，，．6.2等差数列6.2.1等差数列的定义观察正偶数从小到大排列，可组成数列2,4,6,8…①某住宅楼，从第1层开始，每一层的楼板高度，可组成数列0,3,6,9,…②买衣服时会发现，衣服的号码从小到大可组成数列160,165,170,175,…③观察观察上面的数列，可以发现：数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于2；数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3；数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5．这三个数列有一个共同特点，就是从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数．观察一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，用字母d表示．如果三个数a，A，b成等差数，则A-a=b-A，即2abA，此时，A就称为a与b的等差中项．等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．6.2.2等差数列的通项公式设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则……11aa，21aad，3211()2aadaddad，4311(2)3aadaddad，依次类推，最终可推导出等差数列的通项公式为1(1)naand．例题解析例1求等差数列10,6,2，…的第15项。解：因，所以该数列的通项公式为121106104adaa，1(1)10(1)(4)naandn414n．该数列的第15项为154144151446an．例题解析例2等差数列2,5,8，…的第几项是59？解：设该数列的第n项等于59，则因，所以该数列的通项公式为1212523adaa，1(1)2(1)3naandn31n．5931n，20n．因此，该数列的第20项为59．例题解析例3在等差数列{an}中，公差d=5，a9=38，求首项a1。解：因d=5，故设等差数列的通项公式为因a9=38，故15(1)naan．1385(91)a．12a．例题解析例4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计价10元．如果某人在该市坐出租车去14km处的地方，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每加1km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1=11.2表示4km处的车费，公差d=1.2.那么，当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付的车费为1111.2(111)1.223.2()a元．6.2.3等差数列的前n项和公式著名数学家高斯在上小学的时候就显示出了惊人的天赋．最能证明这一点的是高斯十岁那年，老师出了一道题目，要求学生将1到100的所有整数加起来．当其他学生忙于把100个数逐个相加时，高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3，…，n，…前100项和的问题．此数列的首项为1，第100项为100，公差为1，根据高斯的计算可知，其前100项和为(1100)(299)(5051)101505050．…(1100)1002．下面我们将这种方法推广到求一般等差数列的前n项和．等差数列{an}的前n项和可用Sn表示，即123nnSaaaa．…根据高斯算法的启示，对于公差为d的等差数列，其前n项和可表示为①1111()(2)[(1)]nSaadadand，…②()(2)[(1)]nnnnnSaadadand．…将①②两式相加可得由此得到等差数列{an}的前n项和公式11112()()()()nnnnnSaaaaaaaa…n个1()nnaa．1()2nnnaaS．将等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d代入上式，可得1(1)2nnnSnad．例5等差数列{an}中，d=2，a20=29，求前20项的和S20．解：由已知条件可得因此，其前20项之和为129(201)2a，19a．2020(929)2002S．解：例6已知数列{an}的前n项和公式为，求出这个数列的通项公式，并判断其是否为等差数列？2230nSnn因2230nSnn，212(1)30(1)nSnn，因此14322nnnaSSnn，．…当n=1时，，也适合上式，所以该数列的通项公式为1123028aS432nan．又因1(432)[4(1)32]42nnaannn，．…所以，{an}是等差数列。例7在政府的安排下，银行提供无息贷款58000元帮助某地区发展一个项目，还款方式为一年后的第一个月还1000元，以后每个月都比前一个月多还200元，问需要多少个月能还清全部贷款？解：由题意可知，每月还款数是首项a1=1000，公差d=200的等差数列．设n个月可以还清贷款，则n个月的还款总额为Sn，即因为还款是无息的，所以有故20个月可以还清这笔贷款．6.2.4等差数列实际应用举例2(1)10002001009002nnnSnnn．210090058000nn，122029()nn，舍去．例8用一辆汽车从预制场运送54根水泥电杆去500m处的地方开始安装，以后每隔50m放一根，一辆车一次运三根，请计算完成整个任务汽车行程多少公里？解：即完成整个任务汽车行程67.5公里．6.2.4等差数列实际应用举例第一车运三根，放在500m，550m，600m处返程，汽车行程，以后每车比前一车多行，共运18车，则18车的往返行程成等差数列，其a1=1200，d=300，n=18，故60021200(m)5032300(m)181181200181730067500(m)2S，6.3等比数列6.3.1等比数列的定义在现实生活中，我们还会遇到下面一组数列，即细胞分裂时每次1个细胞分裂为2个，则每次分裂后细胞的个数依次为2,4,8,16,32，…。观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每一项与其前一项的比都等于2．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，用字母q表示．如果三个数a，G，b成等比数列，则此时，G就称为a与b的等比中项．等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．GbaG，即2Gab，6.3.2等比数列的通项公式与等差数列类似，下面我们通过观察等比数列各项之间的关系来探求其通项公式．设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则……11aa，21aaq，2321aaqaq，3431aaqaq，依次类推，最终可推导出等比数列的通项公式为11nnaaq．例题解析例1一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．解：设这个等比数列的第1项为a1，公比为q，那么2112aq，①3118aq，②②÷①，得32q．将q代入式①，可得1163a．于是21163832aaq．例题解析例2求等比数列11,3.3,0.99，…的第4项和第5项．解：由题意可知，13.3110.311aq，所以该数列的通项公式为111110.3nnnaaq．因此414110.30.297a，515110.30.0891a．例3某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，问这种物质的半衰期是多长？（精确到1年）解：设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，由已知条件可知，数列{an}是一个等比数列，其中设an=0.5，则10.840.840.84nnaqa，，=．0.840.5n．4n，即这种物质的半衰期大约为4年．6.3.3等比数列的前n项和公式等比数列{an}的前n项和为123nnSaaaa．…根据等比数列的通项公式，上式可以写成①211111nnSaaqaqaq．…用公比q乘以式①两边，可得②23111111nnnqSaqaqaqaqaq．…将式①②的两边分别相减，得1(1)(1)nnqSa