大连理工大学高等数值分析主要内容总结

高等数值分析主要内容总结1.矩阵部分(1)矩阵变换a)Householder变换（反射变换/镜像变换）定义设𝛚ϵ𝐶𝑛是一个单位向量，令𝐇(𝛚)=𝐈−2𝛚𝛚H(1)则称𝐇是一个Householder矩阵或Householder变换。𝐇具有以下性质：𝐇𝐻=𝐇(Hermite矩阵),𝐇𝐻𝐇=𝐈(酉矩阵)𝐇2=𝐈(对合矩阵),𝐇−1=𝐇(自逆矩阵)det(𝐇)=−1,diag(𝐈,𝐇)也是一个Householder矩阵定理设𝐮ϵ𝐶𝑛是一个单位向量，则对于任意的𝐱ϵ𝐶𝑛，存在Householder矩阵𝐇=𝐈−2𝛚𝛚H，使得𝐇𝐱=𝑎𝐮，其中|𝑎|=‖𝐱‖2（𝑎不唯一）。当𝐱=𝟎时，𝛚可任取；当𝐱=𝑎𝐮≠𝟎时，取𝛚H𝐱=0；当𝐱≠𝑎𝐮时，应取𝛚=𝐱−𝑎𝐮‖𝐱−𝑎𝐮‖2。b)Givens变换（旋转变换）定义设𝑐,𝑠ϵ𝐶，|𝑐|2+|𝑠|2=1，记𝑛阶矩阵𝐓𝑘𝑙=[1⋱1𝑐̅𝑠̅1⋱1−𝑠𝑐1⋱1](𝑘)(𝑙)(2)称为Gives矩阵或初等旋转矩阵。Givens矩阵为酉矩阵，且det(𝐓𝑘𝑙)=1。定理对于任意向量𝐱ϵ𝐶𝑛，存在Givens变换𝐓𝑘𝑙，使得𝐲=𝐓𝑘𝑙𝐱的第𝑘个分量为非负实数，第𝑙个分量为0，其余分量不变。当|𝑥𝑘|2+|𝑥𝑙|2=0时，取𝑐=1，𝑠=0，则𝐓𝑘𝑙=𝐈。当|𝑥𝑘|2+|𝑥𝑙|2≠0时，取𝑐=𝑥𝑘√|𝑥𝑘|2+|𝑥𝑙|2，𝑠=𝑥𝑙√|𝑥𝑘|2+|𝑥𝑙|2。(2)矩阵分解-QR分解（正交三角分解/酉三角分解）定义设𝐀ϵ𝐶𝑛×𝑛，如果存在𝑛阶酉矩阵（酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广）𝐐和𝑛阶上三角矩阵𝐑，使得𝐀=𝐐𝐑，则称𝐀=𝐐𝐑为𝐀的QR分解。当𝐀ϵ𝑅𝑛×𝑛时，则称为𝐀的正三角分解。定理任意一个满秩实（复）矩阵𝐀，都可唯一地分解为𝐀=𝐐𝐑。a)Schmidt正交化方法b)Householder变换法c)Givens变换法d)Hessenberg分解任意一个𝑛阶方阵𝐗可以分解为𝐗=𝐏𝐇𝐏′，其中𝐏为酉矩阵，𝐇的第一子对角线下的元素均为0，即𝐇为Hessenberg矩阵。(3)Newton迭代法-拟Newton迭代法a)Newton迭代法I.基本思想：将非线性方程𝑓(𝑥)=0线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。II.基本原理：将𝑓(𝑥)在𝑥0处做一阶Taylor展开：𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)+𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)+𝑜(𝑥−𝑥0)(3)认为𝑓(𝑥0)+𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)=0(4)解此方程，构造迭代格式𝑥(𝑘+1)=𝑥(𝑘)−𝑓(𝑥(𝑘))𝑓′(𝑥(𝑘))(5)式(5)即为Newton迭代法迭代格式，在真实根附近至少是平方收敛的。几何意义b)拟Newton法2.微分方程(1)一阶常微分方程常微分方程初值问题d𝑢d𝑡=𝑓(𝑡,𝑢),0𝑡≤𝑇𝑢(0)=𝑢0(6)a)Euler法微商（导数）是差商的极限，差商是微商的近似。在式(6)中，用向前差商𝑢(𝑡1)−𝑢(𝑡0)ℎ代替微商d𝑢d𝑡，忽略误差项，便得Euler法差分格式𝑢𝑛+1=𝑢𝑛+ℎ𝑓(𝑡𝑛,𝑢𝑛)(7)从另一个角度出发，在区间[𝑡𝑛,𝑡𝑛+1]上积分常微分方程(6)可得𝑢𝑛+1=𝑢𝑛+∫𝑓(𝑡,𝑢(𝑡))d𝑡𝑡𝑛+1𝑡𝑛(8)使用不同的数值积分公式，便得到不同的差分法。采用左矩形公式即可得Euler法，采用右矩形公式，可得到如下隐式Euler法：𝑢𝑛+1=𝑢𝑛+ℎ𝑓(𝑡𝑛+1,𝑢𝑛+1)(9)采用梯形公式，可得到改进的Euler法：𝑢𝑛+1=𝑢𝑛+ℎ2[𝑓(𝑡𝑛,𝑢𝑛)+𝑓(𝑡𝑛+1,𝑢𝑛+1)](10)以上为单步法。预估校正法（多步法，避免隐式法迭代）一般来说，多步法比单步法精度要高一些。b)Runge-Kutta法c)总结相容性：一个差分方法称为相容的，如果其截断误差至少是一阶的。(2)偏微分方程a)椭圆微分方程b)抛物微分方程c)一阶双曲微分方程3.数值逼近(1)一致逼近(2)平方逼近(3)样条逼近（略）(4)贝塞尔曲线（略）