五年级奥数-第十二讲[1].工程问题之牛吃草.教师版

第十二讲工程问题之牛吃草问题知识点拨：英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量每天生长量天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲：板块一、一块地的“牛吃草问题”【例1】青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162份；23头牛吃9周共吃了239207份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245份草，这45份草是牧场的草963周生长出来的，所以每周生长的草量为45315，那么原有草量为：16261572．供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．3个星期21头牛？个星期23头牛9个星期27头牛6个星期【巩固】牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200份；15头牛吃10天共吃了1510150份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050份草，这50份草是牧场的草201010天生长出来的，所以每天生长的草量为50105，那么原有草量为：200520100．供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．【例2】牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【解析】设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15，原有草量为(2715)672，可供72181519（头）牛吃18周【巩固】有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015天生长的草量为1225241060，所以每天生长的草量为60154；原有草量为：24410200．20天里，草场共提供草200420280，可以让2802014头牛吃20天．【巩固】(2007年湖北省“创新杯”)牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则头牛96天可以把草吃完．【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为103060702460243，牧场原有草量为10306016003，要吃96天，需要10160096203(头)牛．【巩固】一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?【解析】设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：(509587)(97)22，原有草量为：509229252，(252226)664(头)【巩固】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）【解析】设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(2112239)(129)15，原有的野果为(2315)972，如果要4周吃光野果，则需有7241533只猴子一起吃【例3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：2051566510，原有草量为：20105150；10天吃完需要牛的头数是：15010105(头)．【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少(254166)(64)2；原来牧场有草(252)4108，12天吃完需要牛的头数是：1081227(头)或(108122)127（头）。【例4】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，651天自然减少的草量为2051664，原有草量为：2045120．若有11头牛来吃草，每天草减少11415；所以可供11头牛吃120158(天)．【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？【解析】设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少(254166)(64)2原来牧场有草(252)4108可供10头牛吃的天数是：108(102)9(天)。【例5】一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为16202012201210，原有草量为：161020120．10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120158天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．【巩固】（2008年希望杯六年级二试试题）有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?【解析】“4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么14头牛30天吃了144301680单位草量，而70只羊16天吃了16701120单位草量，所以草场在每天内增加了(16801120)(3016)40草量，原来的草量为11204016480草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过480(8840)10天，可将草吃完。【巩固】一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22头牛的吃草量，所以草的生长速度为(15242012)(2412)10，原有草量为(2010)12120，12头牛与88只羊一起吃可以吃120(122210)5（天）【例6】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为1730192430249，原有草量为：17930240．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加428才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为24088940(头)．【巩固】一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为44053040301，原有草量为：5130120．如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩1209030，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：30616(天)．【例7】一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？【解析】设1匹马1天吃草量为“1”，根据题意，有：15天马和牛吃草量原有草量15天新生长草量……⑴20天马和羊吃草量原有草量20天新生长草量……⑵30天牛和羊(等于马)吃草量原有草量30天新生长草量……⑶由(1)2(3)可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量30；由⑶可知，30天羊吃草量30天新生长草量，所以：羊每天吃草量每天新生长草量；设马每天吃的草为3份将上述结果带入⑵得：原有草量60，所以牛每天吃草量2．这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：602312(天)．【巩固】现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?【解析】牛、马45天吃了原有45天新长的草①牛、马90天吃了2原有90天新长的草⑤马、羊60天吃了原有60天新长的草②牛、羊90天吃了原有90天新长的草③马90天吃了原有90天新长的草④所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.所需时间为111()369060天.所以，牛、羊、马一起吃，需36天．模块二、“牛吃草问题”的变形【例8】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？【解析】设1人1小时淘出的水量是