第2章-流变学的基本概念

第2章流变学的基本概念主要内容2.1流体形变的基本类型2.2标量、矢量和笛卡尔张量的定义2.3应力张量和应变张量2.4本构方程和材料函数第2章流变学的基本概念流变现象力学行为理想化模型应力-应变(速率)的关系流体均匀各项同性应力-应变亦如此应力应变应变速率2.1流体形变的基本类型三种最基本的形变类型：（1）拉伸和单向膨胀（2）各向同性的压缩和膨胀（3）简单剪切和简单剪切流2.1.1拉伸和单向膨胀（1）拉伸和单向膨胀在拉伸实验中，流体元在拉伸方向上的长度增加，而在两位两个方向上长度则缩短。若L’=λL，M’=μM，N’=μN且ε=(L’-L)/L,δ=(M-M’)/M=(N-N’)/N则有λ=1+ε，μ=1-δ（ε、δ1）ε称为应变，或拉伸应力方向上的应变。显然，拉伸时λ＞1，μ＜1，则有ε和δ均＞0；压缩时λ＜1，μ＞1，则有ε和δ均＜0；流体元的体积变化率：ΔV/V=(1+ε)(1-δ)2-1≈ε-2δ2.1.1拉伸和单向膨胀（2）各向同性的压缩和膨胀若压缩比则压缩应变ε=α-1(ε1)压缩时，ε0；膨胀时，ε0。流体元的体积变化率：ΔV/V=α3-1=(1+ε)2-1≈3ε2.1.2各向同性的压缩和膨胀2.1.3简单剪切与简单剪切流简单剪切中，顶面相对于底面发生位移w，高度l保持不变，则变形γ可表示如下：γ=ω/l=tanθ==1若γ1,则γ≈θγ表示剪切应变（shearstrain）剪切应变速率(剪切速率)：（shearrate）一个假设：在模型推导和计算中，一般将流场中的流体都当作连续介质来处理。定义：由具有确定质量的、连续地充满空间的众多微小质点(微团)所组成的，微团之间无孔洞，在流体的流动形变过程中相邻微团永远连接，既不能超越也不能落后。ddt2.2标量、矢量和笛卡尔张量的定义2.2.1标量、矢量、张量的物理定义（a）标量在选定了测量单位后，仅由数值大小所决定的物理量，与事件发生、发展的方向无关。如温度T、能量E、体积V、时间t等。（b）矢量在选定了测量单位后，由数值大小和空间的方向决定的物理量。如位置p、速度u、加速度a、动量mv、力F等。2.2.1标量、矢量、张量的物理定义（c）张量在笛卡尔坐标系中，在一点处不同方向上、具有不同量值的物理量，称为张量或笛卡尔张量。张量是矢量的推广，是比矢量更为复杂的物理量，如应力张量、应变张量、应变速率张量、取向张量等什么是笛卡尔坐标系？笛卡尔坐标系是直角坐标系和斜角坐标系的统称。.斜角坐标系通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。这样就构成了一个笛卡尔坐标。2.2标量、矢量和张量的定义3.数学定义不同坐标变换，不同的集合满足不同转换关系：标量：123'''123(,,)(,,)xxxxxx矢量：123123''''123''''123(,,)(,,)(,,)(,,)ikkiikikFxxxFxxxFxxxFxxx张量：123123''''123''''123(,,)(,,)(,,)(,,)mijijminjmnimjntxxxtxxxtxxxtxxx2.2.3.1几个特殊张量1）单位张量（克罗内克算子）100010001ijI2.2.3张量的运算2）对称张量张量的分量满足，则称这样的张量为对称张量。ijji1112131112132122232223313233332.2.3.1几个特殊张量3）并矢张量将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：111213212223313233ABABABABABABABABAB并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特殊形式，数组内的各元素是矢量的分量之积。注意：两个矢量之间没有任何乘号，一般情况下，AB≠BA2.2.3.1几个特殊张量2.2.3.2张量的代数运算1）张量相等在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对应相等，则两张量相等。2）张量的加减按矩阵方法，两张量对应分量相加减。PQTPQ标量、矢量和笛卡尔张量的定义3）张量与标量的乘（除）即把张量的各个分量分别乘以标量111213111213212223212223313233313233PPPPPPTPPPPPPPPPPPPP标量、矢量和笛卡尔张量的定义4）向量和张量的乘积向量与张量点乘，其积均为一个矢量。5）张量与张量乘积（单点积）张量与张量单点积得一张量：TPQ2.2.4张量的重要性①在一个坐标系中，笛卡尔张量所有分量都等于零，在所有笛卡尔坐标系中也为零。②两个同阶笛卡尔儿张量的和或差仍是同阶张量，于是同阶张量的任何线性组合仍是同阶张量。③如果某个张量方程在一个坐标系中能够立，那么对于允许变换所能得到的所有坐标系，也一定成立。2.3应力张量和应变张量1、物体受力的三种类型：（1）外力——也称为长程力，指作用于物体上的非接触力，如重力、电场力、磁场力等；（2）表面力——指施加在物体外表面的接触力。是物体内的一部分通过假想的分离面作用在相邻部分上的力，即外力向物体内传递，常作为边界条件处理；（3）内部应力——想象将物体分割成许多微观尺度、足够小的单元，单元表面存在着相互作用力，称为应力。——与流体微团相邻的流体质点直接施加的表面接触力，也称为近程力。单位：Pa、MPa、GPaT=→FSdFdS2.3.1应力张量在笛卡尔坐标系中，假设某点的作用力为F，则F总可以分解为X、Y、Z三个方向的分力Fx、Fy、Fz，若将之除以相对应微体积元面积，则可得到相应的应力Tx、Ty、Tz。再将每一个应力沿X、Y、Z三个方向进行分解，则得到以下分量形式：Tx=（Txx,Txy,Txz）Ty=（Tyx,Tyy,Tyz）Tz=（Tzx,Tzy,Tzz）应力张量Tij：应力张量分量下标i表示应力的作用面，j表示应力的方向如Txy表示x面上的沿y方向的应力xxxyxzyxyyyzzxzyzzTTTTTTTTTT2.3.1应力张量通常将应力张量分解为两部分：⑴流体形变有关的动力学应力，偏应力张量；⑵张量的各向同性部分；-TP-ijijijTP2.3.1应力张量称为单位张量，可定义为以下形式：100=010001ij当时，应力分量就是法向应力，其他分量称为剪切应力2.3.1应力张量一些基本流变实验中的应力张量：a、（单向）拉伸实验作用力施加于试样的断面，且与断面所在平面垂直，因此，其应力为Txx，相应的应力张量为：Ttensile=00000000xxT2.3.1应力张量b、各向同性的压缩定义：如果应力矢量T无论在什么方向上总是与分隔面(作用面)垂直，且其大小与分隔面的方向无关，则称为各向同性。流体静止时（完全流体无论何时）内部的接触力就属于这种性质，因此各向同性的应力也称为流体静压力。2.3.1应力张量nTnP因此，在压缩实验中，其应力为Txx=Tyy=Tzz=P，其它剪切应力分量均为零。则相应的应力张量为：Tcompresion=000000xxyyzzTTT2.3.1应力张量c、简单剪切在剪切应力实验中，应力与作用面平行，为了保持平衡，在施加一个剪切应力的同时，必须施加相应的另一个剪切应力。总力矩为：2.3.1应力张量=0yxxydLTdxdydzTdxdydz=yxxyTT因此，Txy=Tyx=f/S，则相应的应力张量为或Tshear==或0000000xyyxTT0000000xzzxTT0000000yzzyTT2.3.1应力张量变形前两点的相对位置可用下列矢量表示：12(,,)PPdxdydz变形后的两点相对位置用下列矢量表示：12''(,,)xyzPPdxdudydudzdu2.3.2应变张量变形前的距离为：(,,)dsdxdydz变形后产生的相对位移：(,,)xyzdudududu2.3.2应变张量变形前后两点的相对位置发生变化，其变化量分别为相对位移在坐标轴上的分量，其矩阵形式为:xxxyyyzzzuuuxyzuuududsxyzuuuxyz无穷小位移梯度张量,yxzuuuxyz和分别表示各坐标轴方向上的单位伸长，即变形对各坐标的变化率。2.3.2应变张量根据矩阵运算法则，无穷小位移梯度张量可分解为两部分：11++2211++2211++22110--2211--2212yxxxzyyyxzyxzzzyxxzyyyxzuuuuuxyxzxuuuuududsxyyzyuuuuuxzyzzuuuuyxzxuuuuuxyyzy（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（=E+W1--2yxzzzuuuuuxzyzz）（）应变张量反对称二阶张量2.3.2应变张量应变张量可简为：xxxyxzijyxyyyzzxzyzzeeeEeeeeeee可得到：,,yxzxxyyzzuuueeexyz1+2yxxyyxuueeyx（）1+2xzxzzxuueezx（）1+2yzyzzyuueeyz（）2.3.2应变张量第一不变量：1xxyyzzIeee第二不变量：2(,,,)ijjiijIeeijxyz第三不变量：3000000xxxyxzxyxyyyzyzxzyzzzeeeeIeeeeeeee2.3.2应变张量3332312322211312113I3322111I3331131133322322221221112Iⅰ.各向同性压缩设笛卡尔坐标的原点在试样的角上，各边与坐标轴一致。'(1)xx'(1)yy'(1)zz2.3.2应变张量ⅱ.拉伸实验笛卡尔坐标的原点在物体的中心，各边与坐标轴平行。'(1)xx'(1)yy'(1)zz2.3.2应变张量ⅲ.简单剪切'xxy'yy'zz2.3.2应变张量2.3.3应变速率张量在流动过程中，与流体应力状态相关的更重要物理量，往往不是形变的大小，而是形变进行的速率，它与流动场中的速度梯度密切相关。设在某一瞬时位形，流体内的流动速度场为，则定义速度梯度张量如下：2.3.3应变速率张量描述流动会涉及应变速率张量，则为11()()2211()()2211()()22yxxxzyyyxzyxzzzxyxzxvxyyzyxzzyzzvzvyvzvxvyvzvyvyvxvxvzvxvyvxvzyzxzzyyxyzxyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxx2220)()(0)(0yVzVxVzVyVzVxVyVxVzVxVyVzyzxzyyxzxyx2.3.3应变速率张量是应变速率张量，表征了材