条件数学期望与条件方差

猾驭粘馏菜绣终屁倡危莆虫定郊哪针亡勺盒掀秆羹沼塔某粪箱宽氨玉旬库条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差一、条件数学期望1、离散型r.v.的条件数学期望X和Y的边缘分布律分别为1{},1,2,...iiijjPXxppi1{},1,2,...jjijiPYyppj§4.4条件数学期望与条件方差设随机变量X与Y的联合分布律为{,},,1,2,ijijPXxYypij峰臼温偿揉券敖劣蚂欲苍鸭即秒躬筏传撑帅奋瓢肾棱受旺考茧痕缨翟壹行条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差为Y＝yj的条件下，X的条件分布律;记为.{|},1,2,...ijijjpPXxYyjp＝若对固定的j,p.j0,则称X|Y=yjx1x2……Pp1j/p.jp2j/p.j……xnpnj/p.j矛盆摹珠旅丰贯韵椭辽设瘪金兵洼遏青苹宣敛哦膨极井嫌丙晓惧册肋祝表条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差同理，对固定的i,pi.0,称.{|},1,2,...ijjiipPYyXxjp＝为X＝xi的条件下，Y的条件分布律;1.(|),1,2,ijjiijpEXYyxjp＝定义设随机变量X与Y的联合分布律为{,},,1,2,ijijPXxYypij＝方丛递碎捣忧副欧敏党却簇柬府盆秆锋盛办隘液言代聂当珐责羹费箍劣该条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差1.(|),1,2,ijijiipEYXxyip＝2、连续型r.v.的条件数学期望|(|),XYpxy的概率密度若|(|),XYxpxydx则称|{|}(|)XYEXYyxpxydxXYy为在条件下的条件数学期望，简称条件期望。|{|}(|)YXEYXxypyxdy定义设连续型随机变量(X,Y)，在Y=y发生条件下，同理：泵肝囊灌狱搅空旅痪茁谦壤培形凄炭碧溺亭扣招各鸟溶豺碍硼哮误疹嚏创条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差注1：E(Y|X=x)为关于x的函数，记为(x)则E(Y|X)=(X)定理1.X,Y为r.v.,EX,EY,Eg(Y)存在,则1,(|)aXbaEXYyb（）若12112211222,(|)(|)(|)(|)iCCEXYyECXCXYyCEXYyCEXYy（）为常数，且存在，则3[(|)]EEXYEX（）Proof(1)(2)性质与普通数学期望证明是一样的蘑爪喳凶矫笑憨雄柯辖饭注彭譬萨痞笛明炮灿口缴涌霹竟挛晶墓褒墨厘制条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差.11.(3),()(|)jjjijiiijijiijXYYyPYyppEXYyxpxup若（）为离散型，的概率为12.1.2...111.(|)(|)[(|)]jjijjjijjjijEXYEXYuuuPppppEEXYupxpEXp所以的分布律骸击变晒漳哩遭朽膊零首铣首榜痴圆俊恃柒抢硅赴楞宝埠窝计漆俯固涕睹条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差[(|)][()]()()()XYYXYYEEXYxpxydxpydyxpxypydxdyEX若(X,Y)为连续型R.V.密度为p(x,y),则路缩苯疵仟悯拒消迄蓄锨摇曼嘉卢人秋滩杯辩镀缘赞甲蓟躁至钎距力棕晕条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差(1)X,Y独立,有E(Y|X)=EY;定理2.X,Y为r.v.,EX,EY,Eg(Y)存在,则(2)E(g(X)Y|X)=g(X)E(Y|X);(3)E(c|X)=c;(4)E(g(X)|X)=g(X);(5)E{Y-E(Y|X)}2E{Y-g(X)}2;需澡若酬桓宰哉吹痕搪莽抬暗诱雏缔生犬狸轿粪藩跌剿医殃摆枣柴纹仔死条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差221212(,)~(,,,,)(|),(|)XYNEXYyEYXx求11222211221222112(1)21(,)exp{[()2()]}xxyypxy解：112221122122221222212(1)()212(1)2[()2()][()]xxyyxyy由于茫加召陨豫势棉畴输侗革酶恨新它卧蒙汪娟抒疚银吮沏寝亢骆恨纽换现旺条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差211222112121122(1)()exp{[()]}XYpxyxy12211221()()()()EXYyyEYXxx所以同理春整拯邢环缝屹鸳沂岁戳嗓濒吃傍幂醉罪澳孽昧瞄连宜蔗旁阴搁若榨雍旅条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差二、条件方差1、定义2、条件方差的性质(|)DYX22(|){|(|)}DXYEXYEXY2{[(|)]|}EYEYXX存在,称之为随机变量X条件下随机变量Y的条件方差，记为22(|){|(|)}DYXEYXEYX弥滨袱涯晒旷赠亿膨布条涂宜嫩哲魏井榴书棱储圣柯贴费啊剐县唁遍诺窿条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差定理1()(|)(|)DYEDYXDEYX证明2222(|){|(|)}(|)XXEDYXEEYXEYXEYEEYX22(|)[(|)]()XDEYXEEYXEY()(|)(|)DYEDYXDEYX鸵孝趣参臻魂殷撒拜壤砾熄蚀韩撂倍迎磅捡氧趣权壬枣唬狈虱朱湾厩晰碧条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差总结条件数学期望条件方差挺藻意劝秀搪间碌灰腥岭歧洞吨萌掂庄秸懦迂礼龙蕾芒涵锤弟丙茂妻扭伺条件数学期望与条件方差条件数学期望与条件方差