高等数学-极限PPT

1.2极限一、数列的极限二、数列极限的性质三、函数的极限四、无穷大与无穷小一、数列的极限例如,nna211)1(nna,,,,21naaa1.定义1形如的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做数列的项，第n项an叫做数列的一般项或通项.nann1)1(;,21,,81,41,21n;,)1(,,1,1,11n.,)1(,,41,31,21,11nn;,1,,43,32,21nn1nnan说明：(2)几何上，数列看做数轴上一个动点，依次取数轴上的点.,,,,21naaa1a2a3a4ana(1)数列是以自然数为定义域的函数.),(Nnnfan问题的提出——割圆术我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何上的应用.割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失.2.数列极限的定义R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A126n正边形的面积nA,,,,,321nAAAAS说明：当n的取值无限增大时，面积An无限接近一个确定的常数S.——数列的极限…用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积:圆的面积.)1(01时的极限当就是数列则nnn再如数列：nn1)1(,时当n,0)1(1无限接近于nn定义2设{an}是一数列，a是一常数.无限时当nan,,a接近于,时的极限当为数列则称naan记作aannlim).(naan或反之，如果数列{an}的极限不存在，则称数列{an}发散.na或称数列,a收敛于在上例中，,021limnn,0)1(lim1nnn.11limnnn,11,)1(1之间摆动和在的不断增大随着而nn.)1(1不存在极限极限的定义，n根据,lim,时表示当在极限的定义中naann?的接近程度与annaaa如何度量无限接近于,问题：例如，.0)1(,,)1(11无限接近于时当数列nannnnn由于,1)1(01nnann当n越来越大时，越来越小，从而an越来越接近于0.n1例如，给定,1001,10011n要使只要n100即可.即从101项开始都能使.10010成立na给定,100001,1000011n要使只要n10000即可.即从10001项开始都能使.10010成立na一般地，不论给定的正数多么的小，总存在一个正整数N,使得当nN时，不等式aan都成立.这就是数列nann1)1(.时极限的实质当n根据这一特点得到数列极限的精确定义.定义3总存在正整数N，使得当nN时，不等式都成立,那么称常数a是数列{an}的极限.对任意给定的数为一数列，如果存在常设,}{aan,正数aan记作.limaann说明：)1(具有任意性，确定性，N存在性与有关;;)2(的无限接近与刻划了不等式aaaann(3)数列的极限与前面的有限项无关..,,0,0aaNnNn有时当(4)定义简写aannlimx1a2a2Na1Na3a几何解释：2aaa只有内都落在所有的点时当,),(,aaaNnn.,,0,0limaaNnNaxnnn恒有时使.)(落在其外个至多只有有限个N从N+1项开始，有.aaan例1.0)1(lim1nnn证明证明aan0)1(1nn,1n,0对,0na要使,1n即,1n,1N取有时当,Nn,0)1(1nn.0)1(lim1nnn由极限的定义知例2.231213limnnn证明证明aan231213nn,41n,0对,41n只要,41n,41N取有时当,Nn.231213limnnn241n241n,231213nn要使.231213nn由极限的定义知例3证明aan021n),1(0设对,21n即,2lnlnn取对数得,2lnlnN取有时当,Nn,21n,021n要使.021n由极限的定义知.021limnn证明.021limnn说明：.0)1()1(的极限为等比数列qqn.)2(有关，但不唯一与，用定义证明数列极限时N因,limaann,2abaan从而;2baan同理,因,limbann故存在N1,使当nN1时,.ba不妨设证明(反证法),limaann,limbann假设故存在N2,使当nN2时,有,2abbxn从而.2baan定理1(极限的唯一性)收敛的数列极限唯一.二、数列极限的性质,2,ab取依据极限的定义矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN取na同时满足的不等式和2baan，2baan定理2(收敛数列一定有界)证明设,limaann取,1从而有,N则当Nn时,,1aan有收敛数列必有界..,,0,MaNnMann有对一切即收敛数列11aaan取1121aaxxxMN,,,,,max则有.),,(21nMxn由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如1)1(n定理3(收敛数列的保号性)证明就a0的情形,由数列极限的定义，,2a取,时当Nn,2aaan.20naa从而ax2a2a推论:若数列从某项起,0nx,limaxnn且0a则)0(.)0((用反证法证明)O若,limaann,0a且,时当Nn.0na有N,N则,NN则1Nx0a0na定理4(夹逼准则)acbnnnnlimlim)2(),,2,1()1(ncabnnn.limaann且证明由条件(2),,0,,21NNN当1Nn时,abn当2Nn时,acn,aban,acan满足下列条件：及、数列}{}{}{nnncba,}{的极限存在则数列na令,,max21NNN结合条件(1)，得nnncabaa即,aan故.limaannnaaa则当时,Nn从而例4证明222111lim0.(1)()nnnnn证明,041lim)(lim2nnnnnn由于,01limlim2nnnnn由夹逼准则得,2nn2)(nnn222111(1)()nnnn222111lim0.(1)()nnnnn定理5(单调有界准则)单调增加数列：,121nnaaaa,121nnaaaa单调减少数列：单调有界数列必有极限.单调增加有上界数列必有极限；单调减少有下界数列必有极限.单调递增数列和单调递减数列统称为单调数列.说明：例5.111111的极限，，，，求数列证明数列的有界性.解，令111na，则nnaa11,11a由于,222a,2ka设kkaa11则.23由归纳法知，对所有的,Nn，有20na.有界故数列na下面证明数列具有单调性.,11a已知,22a.12aa则，设1kkaa则1-111kkkkaaaa01111-kkkkaaaa由归纳法知，对所有的,Nn，有nnaa1.单调增加故数列na由单调有界准则知，,极限存在故数列na设为a.得两边取极限在,11nnaa，aa1解得.251a由于收敛数列保号性知.251舍去a故所求数列的极限是.251limnna或251a子数列：在数列{an}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{an}的子数列．例如，数列{an}：1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…的一子数列为{a2n}：-1，-1，-1，…，(-1)2n-1，…．另一子列{a2n-1}：1，1，1，…，(-1)2n，…．如果数列{an}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a．定理6(收敛数列与其子数列间的关系)(1)若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列发散.说明:定理6用来证明数列发散：(2)若数列有一个子列极限不存在，则则原数列发散.例如，),2,1()1(1nann;1lim12nna1lim2nna发散!不相等自变量趋于有限值时函数的极限0)4(xx0)5(xx0)6(xxx)1(x)2(x)3(,)(xfy对自变量变化过程的六种形式:自变量趋于无穷大时函数的极限三、函数的极限函数的极限单击任意点开始观察.sin)(时的变化趋势当观察函数xxxxf1.自变量x→∞时,函数的极限引例单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察单击任意点开始观察观察完毕.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx演示实验的观察:当x无限增大时,函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A,称A为f(x)当x→+∞时的极限.设f(x)当x大于某一正数时有定义，记作：)()(xAxf或函数f(x)在x→+∞时极限的直观定义：定义4引例中，.0sinlimxxx,)(limAxfx:)(,0Axf表明函数f(x)无限接近A.xX：表明是在x+∞的过程中实现的.定义5f(x)当x大于某一正数时有定义,A为常数.恒有|f(x)-A|ε成立，则称A是函数f(x)在时的极限.x对任意给定的正数ε，总存在正数X，当xX时，类比于数列极限的定义，推得当时函数极限的精确定义：x.)(limAxfx记作：对定义5的简单叙述：.)(,.0,0)(limAxfXxXAxfx有时当类比当时函数的极限定义，当时函数f(x)的极限定义：xx定义6f(x)当x大于某一正数时有定义,A为常数.恒有|f(x)-A|ε成立，则称A是函数f(x)在时的极限.x对任意给定的正数ε，总存在正数X，当x-X时，.)(limAxfx记作：简单叙述：.)(,,0,0)(limAxfXxXAxfx有时当结合定义5和定义6，推得时的极限定义：在xxf)(定义7f(x)当x大于某一正数时有定义,A为常数.恒有|f(x)-A|ε成立，则称A是函数f(x)在时的极限.x对任意给定的正数ε，总存在正数X，当|x|X时，.)(limAxfx记作：简单叙述：.)(,,0,0)(limAxfXxXAxfx有时当结论：极限存在的充要条件：在函数xxf)(.)(lim)(lim)(limAxfxfAxfxxx例6.0sinlimxxx证明证明Axf)(0sinxx,1xxxsin由于,0对,1x只要,1x,1X取有时当,Xx.0sinlimxxx,)(Axf要使.)(Axf由极限的定义知XXAAoxy)(xfyA几何解释：AxfA)(XxXx或称直线y=A为曲线)(xfy的水平渐近线,0X,)(,AxfXx有时当,0Ay几何上，曲线y=f