数列单元测试卷检测(三)

章末检测(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.公差为d的等差数列的前n项和Sn＝n(1－n)，那么()A.d＝2，an＝2n－2B.d＝2，an＝2n＋2C.d＝－2，an＝－2n－2D.d＝－2，an＝－2n＋2解析n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(1－n)－(n－1)[1－(n－1)]＝－2n＋2，当n＝1时，a1＝0＝－2×1＋2，所以an＝－2n＋2，d＝an－an－1＝－2.答案D2.等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于()A.－24B.0C.12D.24解析由等比数列的前三项为x，3x＋3，6x＋6，可得(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(此时3x＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x＝－3，公比q＝3x＋3x＝2，所以第四项为[6×(－3)＋6]×2＝－24.答案A3.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝()A.18B.20C.22D.24解析S11－S10＝a11＝0，a11＝a1＋10d＝a1＋10×(－2)＝0，所以a1＝20.答案B4.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A.12B.10C.1＋log35D.2＋log35解析因为a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝log3310＝10.答案B5.已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A.21B.42C.63D.84解析设等比数列公比为q，则a1＋a1q2＋a1q4＝21，又因为a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42，故选B.答案B6.在等比数列{an}中，a3＝32，其前三项的和S3＝92，则数列{an}的公比q＝()A.－12B.12C.－12或1D.12或1解析由题意，可得a1q2＝32①，a1＋a1q＋a1q2＝92②，由②÷①，得1＋q＋q2q2＝3，解得q＝－12或1.答案C7.设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99的值为()A.－78B.－82C.－148D.－182解析∵a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，d＝－2，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33×2d＝50＋33×(－4)＝－82.答案B8.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于()A.12B.16C.9D.16或9解析由题意得，120°n＋12n(n－1)×5°＝180°(n－2)，化简整理，得n2－25n＋144＝0，解得n＝9或16.当n＝16时，最大角为120°＋(16－1)×5°＝195°＞180°，不合题意.∴n≠16.故选C.答案C9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝x·3n－1－16，则x的值为()A.13B.－13C.12D.－12解析a1＝S1＝x－16，a2＝S2－S1＝3x－16－x＋16＝2x，a3＝S3－S2＝9x－16－3x＋16＝6x，∵{an}为等比数列，∴a22＝a1a3，∴4x2＝6xx－16，解得x＝12.答案C10.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x、y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝12，an＝f(n)(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围为()A.12，2B.12，2C.12，1D.12，1解析依题意得f(n＋1)＝f(n)·f(1)，即an＋1＝an·a1＝12an，所以数列{an}是以12为首项，12为公比的等比数列，所以Sn＝121－12n1－12＝1－12n，所以Sn∈12，1.答案C11.在等比数列{an}中，a1＝－512，公比q＝－12.用Tn表示它的前n项之积：Tn＝a1·a2·…·an，则T1，T2，T3，…中最大的是()A.T10B.T9C.T8，T11D.T9，T10解析∵Tn＝an1q1＋2＋…＋(n－1)＝an1·qn·（n－1）2＝(－1)n（n＋1）2·2－n22＋19n2，∴n＝8或11时，T8，T11相等且最大.答案C12.已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是()A.－15B.－5C.5D.15解析由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N＋)，得log3an＋1－log3an＝1且an0，即log3an＋1an＝1，解得an＋1an＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列.因为a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35.所以log13(a5＋a7＋a9)＝log1335＝－log335＝－5.答案B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.若等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，若a2∶a3＝5∶2，则S3∶S5＝________.解析S3S5＝3（a1＋a3）5（a1＋a5）＝3a25a3＝35×52＝32.答案3∶214．数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝________.答案1，n＝1，2n－3，n≥2解析当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋2)－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3.又n＝1时，2n－3≠a1，所以有an＝1，n＝1，2n－3，n≥2.15.已知数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2015＝________.答案－6解析由条件an＋2＝an＋1－an可得：an＋6＝an＋5－an＋4＝(an＋4－an＋3)－an＋4＝－an＋3＝－(an＋2－an＋1)＝－[(an＋1－an)－an＋1]＝an，于是可知数列{an}的周期为6，∴a2015＝a5，又a1＝3，a2＝6，∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6.∴a2015＝－6.16.在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则a1＋a2＋…＋a51＝________.解析利用分组求和法求解.当n为正奇数时，an＋2－an＝0，又a1＝1，则所有奇数项都是1；当n为正偶数时，an＋2－an＝2，又a2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a51＝(a1＋a3＋…＋a51)＋(a2＋a4＋…＋a50)＝26a1＋25a2＋25×242×2＝676.答案676三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(本小题满分10分)(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，a3＝5，S10＝100.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.考点数列前n项和的求法题点分组求和法解(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意，得a1＋2d＝5，10a1＋10×92d＝100，解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.(2)因为bn＝2an＋2n＝12×4n＋2n，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)＝4n＋1－46＋n2＋n＝23×4n＋n2＋n－23.18.(本小题满分12分)在等差数列中，a10＝23，a25＝－22，(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.解设等差数列{an}中，公差为d，由题意得a25－a10＝15d＝－45，a1＋（10－1）×d＝23，∴a1＝50，d＝－3.(1)设第n项开始为负，an＝50－3(n－1)＝53－3n＜0，∴n＞533，∴从第18项开始为负.(2)|an|＝|53－3n|＝53－3n（1＜n≤17），3n－53（n＞17）.当1≤n≤17时，Sn＝－32n2＋1032n；当n＞17时，Sn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)，Sn＝－－32n2＋1032n＋2S17＝32n2－1032n＋884，∴Sn＝－32n2＋1032n（1≤n≤17），32n2－1032n＋884（n＞17）.19.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．解(1)当n＝1时，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，求得a1＝1.(2)当n≥2时，Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2Sn－2Sn－1－2n＋1，∴Sn＝2Sn－1＋2n－1，①∴Sn＋1＝2Sn＋2n＋1，②②－①得an＋1＝2an＋2，∴an＋1＋2＝2(an＋2)，求得a1＋2＝3，a2＋2＝6，∴an＋2≠0.∴an＋1＋2an＋2＝2(n≥2)．又a2＋2a1＋2＝2，也满足上式，∴{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．∴an＋2＝3·2n－1，∴an＝3·2n－1－2，n∈N*.20.(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数.又Sn≤S4.故a4≥0，a5≤0.于是10＋3d＞0，10＋4d≤0.解得－103≤d≤－52.因此d＝－3.数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝1（13－3n）（10－3n）＝13110－3n－113－3n.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1317－110＋14－17＋…＋110－3n－113－3n＝13110－3n－110＝n10（10－3n）.21.(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N＋.(1)设bn＝an2n－1.证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解(1)证明由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝an＋12n＝2an＋2n2n＝an2n－1＋1＝bn＋1.∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知，bn＝n，an2n－1＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，两边同时乘以2得2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1.22.(本小题满分12分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，数列{bn}中，b1＝1，且点(bn＋1，bn)在直线y＝x－1上.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的通项公式；(3)若cn＝an＋3，求数列{bncn}的前n项和Sn.解(1)∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴an＋1＋3an＋3＝2，a1＋3＝4，∴{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3