立体几何证明方法总结

一、线线平行的证明方法：1、利用平行四边形。2、利用三角形或梯形的中位线。3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两条直线平行。7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。（需证明）二、线面平行的证明方法：1、定义法：直线与平面没有公共点。2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。三、面面平行的证明方法：1、定义法：两平面没有公共点。2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）3、平行于同一平面的两个平面平行。4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。5、垂直于同一直线的两个平面平行。四、线线垂直的证明方法：1、勾股定理。2、等腰三角形。3、菱形对角线。4、圆所对的圆周角是直角。5、点在线上的射影。6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理，需证明）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线逆定理，需证明）9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。五、线面垂直的证明方法：1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。2、点在面内的射影。3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。六、面面垂直的证明方法：1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。一．选择题（共27小题）1．（2010浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，mα，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，mα，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m2．（2006湖南）过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（）A．4条B．6条C．8条D．12条3．“直线l与平面α无公共点”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：①∥n；②∥α；③；④．其中正确命题的序号是（）A．①②B．②④C．②③D．①④5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1、CD、B1C1的中点，则下列中与直线AE有关的正确命题是（）A．AE丄CGB．AE与CG是异面直线C．四边形ABC1F是正方形D．AE∥平面BC1F6．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交D．无数条直线不相交7．α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（）A．α⊥β，且a⊥βB．α∩β=b，且a∥bC．a∥b，且b∥αD．α∥β，且aβ8．已知两条直线a，b，两个平面α，β，则下列结论中正确的是（）A．若aβ，且α∥β，则a∥αB．若bα，a∥b，则a∥αC．若a∥β，α∥β，则a∥αD．若b∥α，a∥b，则a∥α9．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①、③B．①、④C．②、③D．②、④10．设α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β；③若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β；④若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b．其中正确命题是（）A．③B．④C．①③D．②④11．已知两条直线a，b和平面α，若bα，则a∥b是a∥α的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件12．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是（）A．存在一条直线b，a∥b，bαB．存在一条直线b，a⊥b，b⊥αC．存在一个平面β，aβ，α∥βD．存在一个平面β，a⊥β，a⊥β13．已知α，β表示平面，a，b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（）A．a⊥β，α⊥βB．a⊥β=b，a∥bC．a∥b，b∥αD．α∥β，aβ14．A，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题①a∥b②a∥b③α∥β④α∥β⑤α∥a⑥α∥a其中正确的命题是（）A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④15．下列说法正确的是（）A．垂直于同一平面的两平面也平行B．与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．垂直于同一直线的两平面平行16．已知两条直线m、n与两个平面α、β，下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥n，m⊥β，则n∥β17．已知直线a，b，平面α，β，则a∥α的一个充分条件是（）A．a⊥b，b⊥αB．a∥β，β∥αC．bα，a∥bD．a∥b，b∥α，aα18．A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在直线AB，AC，AD，BC，BD，DC中，与平面α平行的直线有（）A．0B．1条C．2条D．3条19．（2010山东）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行20．（2008湖南）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，mα，则m⊥βD．若α∥β，m⊥β，mα，则m∥α21．（2008福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．22．（2008安徽）两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥，n∥，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n23．（2007辽宁）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若mβ，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γD．若m⊥β，m∥α，则α⊥β24．（2007江苏）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥αn⊥α②α∥β，mα，nβm∥n③m∥n，m∥αn∥α④α∥β，m∥n，m⊥αn⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③25．（2002北京）已知三条直线m、n、l，三个平面a、b、g，下列四个命题中，正确的是（）A．B．C．D．26．已知直线m平面α，直线n平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n”是“直线c⊥平面α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件27．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与平面α的位置关系是（）A．一定平行B．不平行C．平行或相交D．平行或在平面内二．填空题（共3小题）28．如图：点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥面ACD1；③DP⊥BC1；④面PDB1⊥面ACD1．其中正确的命题的序号是_________．29．考察下列三个命题，在“﹣﹣”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l，m为不同的直线，α、β为不重合的平面），则此条件为_________．①l∥α，②l∥α，③l∥α30．在正四面体PABC中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点．给出下面四个结论：①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC，其中所有不正确的结论的序号是_________．1.分析：根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．解答：解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；C：l∥α，mα，则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B2.：解：如图，过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有12条，故选D．33解答：解：若“直线l与平面α无公共点”成立，则“l∥α”即“直线l与平面α无公共点”“l∥α”为真命题反之，当“l∥α”时，“直线l与平面α无公共点”即“l∥α”“直线l与平面α无公共点”也为真命题根据充要条件的定义可得：直线l与平面α无公共点”是“l∥α”的充要条件故选C4解答：4：①m∥n，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故①正确．②n∥α，由m⊥α，m⊥n得n∥α或nα，故②不正确．③m∥n，由m∥α，n∥α，则m，n可能平行、可能相交、可能异面．故③不正确．④，则m，n可能相交、可能异面，根据异面直线所成的角，可知m⊥n．故④正确．故选D．分析：5根据正方体的几何特征，可以判断出AE与CG相交，但不垂直，由此可以判断出A，B的真假，分析四边形ABC1F中各边的长度，即可判断C的真假，由线面平行的判定定理，可以判断出D的真假，进而得到答案．解答：解：由正方体的几何特征，可得AE丄C1G，但AE与平面BCB1C1不垂直，故AE丄CG不成立；由于EG∥AC，故A，E，B，C四点共线∴AE与CG是异面直线错误；四边形ABC1F中，AB≠BC1，故四边形ABC1F是正方形错误；而AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F故选D点评：6解答：解：∵直线与平面平行，由其性质可知：∴这条直线与平面内的任意一条直线都不相交，A一条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故A错误；B、两条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故B错误；D、无数条直线不相交，说明有其它直线与其相交，无数不是全部，故D错误；故选C．点评：此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握．7解答：解：A、还可能有aα，所以不正确B、因为a不一定在β内，所以不正确C、还可能有aα，所以不正确D、α∥β，且aβ由面面平行的性质定理可知是正确的．故选D点评：本题主要考查线线，线面，面面的平行及垂直间的相互转