大一高数笔记

导数与极限（一）极限1.概念（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（定义）Axfax)(lim0，0，当||0ax时，有|)(|Axf。（2）单侧极限左极限：)0(afAxfax)(lim0，0，当xa0时，有|)(|Axf。右极限：)0(afAxfax)(lim0，0，当ax0时，有|)(|Axf。（3）自变量趋向于无穷大的函数极限定义1：0,0X，当Xx，成立Axf，则称常数A为函数xf在x趋于无穷时的极限，记为Axfxlim。Ay为曲线xfy的水平渐近线。定义2：00X，，当Xx时，成立Axf，则有Axfxlim。定义3：00X，，当Xx时，成立Axf，则有Axfxlim。运算法则：1)1)若Axflim，xglim，则xgxflim。2)2)若但可为,0limAxf，xglim，则xgxflim。3)3)若xflim，则01limxf。注：上述记号lim是指同一变化过程。（4）无穷小的定义0，0，当||0ax时，有|)(|xf，则称函数)(xf在ax时的无穷小（量），即0)(limxfax。（5）无穷大的定义0M，0，当||0ax时，有Mxf|)(|，则称函数)(xf在ax时的无穷大（量），记为)(limxfax。直线ax为曲线xfy的垂直渐近线。2．无穷小的性质定理1有限多个无穷小的和仍是无穷小。定理2有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2有限个无穷小的乘积是无穷小。无穷小与无穷大的关系若)(limxfax，且)(xf不取零值，则)(1xf是ax时的无穷小。3．极限存在的判别法（1）Axfax)(limAafaf)0()0(。Axfx)(limAxfxfxx)(lim)(lim。（2）Axfax)(limAxf)(，其中是ax时的无穷小。（3）夹逼准则：设在点a的某个去心邻域),(ˆaN内有)()()(xhxfxg，且已知Axgax)(lim和Axhax)(lim，则必有Axfax)(lim。4．极限的性质（1）极限的唯一性若Axfax)(lim且Bxfax)(lim，则BA。（2）局部有界性若Axfax)(lim，则0M，在点a的某个去心邻域),(ˆaN内有Mxf|)(|。（3）局部保号性（I）若Axfax)(lim，且0A（或0A），则必存在a的某个去心邻域),(ˆaN，当),(ˆaNx时，有0)(xf（或0)(xf）。（II）若在点a的某个去心邻域),(ˆaN内有0)(xf（或0)(xf），且Axfax)(lim，则0A（或0A）。5．极限的四则运算与复合运算设c是常数，，，BxgAxfaxax)(lim)(lim则（1）；BAxgxfax)]()([lim（2）；BAxgxfax)]()([lim（3）；Acxfcax)]([lim（4）；，0)()(limBBAxgxfax（5），，有，且，若00)()0(),()(lim)(lim0uxgaUxAufuxguuax则Aufxgfuuax)(lim)]([lim0.6．两个重要极限（1）1sinlim0xxx；（2）exxx10)1(lim或exxx)11(lim。7．无穷小的阶的比较若和都是在同一自变量变化中的无穷小量，且0，则（1）若0lim，则称关于是高阶无穷小量，记作)(o；（2）若1lim，则称和是等价无穷小量，记作~；（3）若)0(limcc，则称和是同阶无穷小量，记作)(O；一般情况下，若存在常数0A，0B，使成立BA||，就称和是同阶无穷小量。（4）若以x作为0x时的基本无穷小量，则当)(kxO（k为某一正数）时，称是k阶无穷小量。定理1)(~o。定理2设~，~，且lim存在，则limlim。常用的等价无穷小0x时，1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~xexxxxxx，221~cos1xx。（二）函数的连续性1．定义若函数)(xfy在点a的某个邻域内有定义，则)(xf在点a处连续)()(limafxfax0lim0yx。2．连续函数的运算连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数；连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数；一切初等函数在定义区间内都是连续函数。3．间断点（1）间断点的概念不连续的点即为间断点。（2）间断点的条件若点0x满足下述三个条件之一，则0x为间断点：（a）)(xf在0x没有定义；（b）)(lim0xfxx不存在；（c）)(xf在0x有定义，)(lim0xfxx也存在，但)()(lim00xfxfxx。（3）间断点的分类：（i）第一类间断点：在间断点0x处左右极限存在。它又可分为下述两类：可去间断点：在间断点0x处左右极限存在且相等；跳跃间断点：在间断点0x处左右极限存在但不相等；（ii）第二类间断点：在间断点0x处的左右极限至少有一个不存在。4．闭区间上连续函数的性质（1）概念若函数)(xf在区间),(ba上每一点都连续，在a点右连续，在b点左连续，则称)(xf在区间],[ba上连续。（2）几个定理最值定理：如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则)(xf在此区间上必有最大和最小值。有界性定理：如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则)(xf在此区间上必有界。介值定理：如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则对介于)(af和)(bf之间的任一值c，必有],[bax，使得cxf)(。零点定理：设函数)(xf在闭区间],[ba上连续，若0)()(bfaf，则必有),(bax，使得0)(xf。（三）导数1．导数的概念（1）定义设函数)(xfy在点a的某个邻域内有定义，当自变量在点a处取得改变量)0(x时，函数)(xf取得相应的改变量)()(afxafy，若极限xafxafxyxx)()(limlim00存在，则称此极限值为函数)(xfy在点a处的导数（或微商），记作axaxaxxxfxyyafd)(ddd)(或，，。导数定义的等价形式有axafxfafax)()(lim)(。（2）左、右导数左导数axafxfafax)()(lim)(右导数axafxfafax)()(lim)()(af存在)()(afaf。2．导数的几何意义函数)(xfy在点a处的导数)(af在几何上表示曲线)(xfy在点))(,(afaM处的切线的斜率，即)(afk，从而曲线)(xfy在点))(,(afaM处的切线方程为))(()(axafafy法线方程为)()(1)(axafafy3．函数的可导性与连续性之间的关系函数)(xfy在点a处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。因此，若函数)(xf点a处不连续，则)(xf点a处必不可导。4．求导法则与求导公式（1）四则运算若wvu、、均为可导函数，则vuvu)(，vuvuuv)(，wuvwvuvwuuvw)(，uccu)(（其中0c为常数），2)(vvuvuvu，2)1(vvv（0v）。（2）复合函数求导设)(ufy，)(xgu，且)(uf和)(xg都可导，则复合函数)]([xgfy的导数为xuuyxydddddd。（3）反函数的导数若)(yx是)(xfy的反函数，则)(1)(yxf。（4）隐函数的导数由一个方程0),(yxF所确定的隐函数)(xfy的求导法，就是先将方程两边分别对x求导，再求出xydd即可。（5）对数求导法先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。对数求导法适用于幂指函数、连乘除函数。（6）参数方程的导数若参数方程)()(tytx确定了一个函数)(xfy，且、均可导，则有)()(ddttxy。（7）基本初等函数的导数公式0)(c1)(xxxxcos)(sinxxsin)(cosxx2sec)(tanxx2csc)(cotxxxtansec)(secxxxcotcsc)(cscaaaxxln)(（0a，1a）xxee)(axxaln1)(log（0a，1a）xx1)(ln211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)arccot(xx5．高阶导数（1）高阶导数的概念：函数)(xf的一阶导数)('xf的导数称为)(xf的二阶导数，)(xf的二阶导数的导数称为)(xf的三阶导数，……，)(xf的1n阶导数的导数称为)(xf的n阶导数，分别记为)()4(,,,,,nyyyyy，或nnxyxyxyxydd,,dd,dd,dd443322。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。（2）常用的n阶导数公式!)()(nxnn，xnxee)()(，)2sin()(sin)(nxxn，)2cos()(cos)(nxxn，nnnxnx)1()!1()1()]1[ln(1)(。（3）莱布尼茨公式设)(xu和)(xv都是n次可微函数，则有)()(0)()(kknnknvuknuv。复习指导重点：求函数的极限、连续、导数。难点：讨论分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。1．求极限的方法：（1）利用定义（语言）证明。（2）利用极限的四则运算法则和复合函数求极限的方法求初等函数的极限。（3）初等函数)(xf在定义区间上求极限：)()(lim00xfxfxx。例：3103020132lim220xxxx。（4）分解因式，约去使分母极限为零的公因式。例：113lim)1)(1()3)(1(lim134lim11221xxxxxxxxxxxx。（5）利用两个重要极限，此时需注意自变量的变化趋势。例：2222sinlim2sinlim00xxxxxx但44)42sin(2sinlim4xxx。（6）利用等价无穷小替换（条件：在乘积的条件下）。例：33lim)1ln(3tanlim00xxxxxx。（7）利用无穷大和无穷小的互为倒数关系。例：求22lim2xxx。因为022lim2xxx，所以22lim2xxx。（8）幂指函数求极限：若1)(lim0xuxx，)(lim0xvxx，则]1)()[(lim)(00)(limxuxvxvxxxxexu。（9）利用左右极限求分段函数在分段点处的极限。2．无穷小：（1）理解无穷小是自变量在趋向于某一点时函数极限趋向于零的过程，它与自变量的变化趋势密切相关。（2）掌握利用求两个无穷小的商的极限比较它们的阶的方法。（3）注意在求极限时，如果两个无穷小做加减法，则不能做等价无穷小的替换。3．连续性的判断：重点是分段函数在分段点处连续性的判断，此时需利用左右连续的概念进行判断。4．间断点