数学必修五数列知识点解题技巧

有德教育第1页共4页数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n项和与通项的公式①nnaaaS21；)2()1(11nSSnSannn2）数列的分类：①递增数列:对于任何Nn,均有nnaa1.②递减数列:对于任何Nn,均有nnaa1.③摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使NnMan,.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项na使得Man.一、等差数列1）通项公式dnaan)1(1，1a为首项，d为公差。前n项和公式2)(1nnaanS或dnnnaSn)1(211.2）等差中项：baA2。3）等差数列的判定方法：⑴定义法：daann1（Nn，d是常数）na是等差数列；⑵中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列na是等差数列，则数列pan、npa（p是常数）都是等差数列；⑵在等差数列na中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,,,,32knknknnaaaa为等差数列，公差为kd.⑶dmnaamn)(；banan(a,b是常数)；bnanSn2(a,b是常数，0a)⑷若),,,(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；⑸若等差数列na的前n项和nS，则nSn是等差数列；⑹当项数为)(2Nnn，则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶；当项数为)(12Nnn，则nnSSaSSn1,奇偶偶奇.(7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数有德教育第2页共4页列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列1）通项公式：11nnqaa，1a为首项，q为公比。前n项和公式：①当1q时，1naSn②当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11.2）等比中项：baG2。；3）等比数列的判定方法：⑴定义法：qaann1（Nn，0q是常数）na是等比数列；⑵中项法：221nnnaaa(Nn)且0nana是等比数列.4）等比数列的性质：⑴数列na是等比数列，则数列npa、npa（0q是常数）都是等比数列；（2）),(Nmnqaamnmn（3）若),,,(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；（4）若等比数列na的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列.（5）设，是等比数列，则也是等比数列。（6）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；（7）设是正项等比数列，则是等差数列；（8）设，，，则有；（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则①．为等比数列，公比为；②．（即）为等比数列，公比为；三、解题技巧：A、数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果na等差，nb等比，那么nnab叫做差比数列）有德教育第3页共4页即把每一项都乘以nb的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列11nnaa和11nnaa（其中na等差）。可裂项为：111111()nnnnaadaa，1111()nnnnaadaaB、等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。（ⅰ）若已知通项na，则nS最大100nnaa；（ⅱ）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大；2、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值（ⅰ）若已知通项na，则nS最小100nnaa；（ⅱ）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小；C、根据递推公式求通项：1、构造法：1°递推关系形如“qpaann1”，利用待定系数法求解【例题】已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式.2°递推关系形如“，两边同除1np或待定系数法求解【例题】nnnaaa32,111，求数列na的通项公式.3°递推已知数列na中，关系形如“nnnaqapa12”，利用待定系数法求解【例题】已知数列na中，nnnaaaaa23,2,11221，求数列na的通项公式.4°递推关系形如11nnnnapaqaa（p,q0),两边同除以1nnaa【例题】已知数列na中，1122nnnnaaaa1（n2),a，求数列na的通项公式.【例题】数列na中，)(42,211Nnaaaannn，求数列na的通项公式.2、迭代法：a、⑴已知关系式)(1nfaann，可利用迭加法或迭代法；11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn【例题】已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式b、已知关系式)(1nfaann，可利用迭乘法.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn有德教育第4页共4页【例题】已知数列na满足：111(2),21nnannaan，求求数列na的通项公式；3、给出关于nS和ma的关系【例题】设数列na的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设nnnSb3，求数列nb的通项公式．