参数估计方法及其应用

参数估计方法及其应用数理统计的基本概念总体个体样本常用统计量的分布分位点统计量常用统计量t分布F分布分布2一、总体与个体一个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为总体(母体)，总体中每个成员称为个体.研究某批灯泡的质量…考察国产轿车的质量总体总体然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.该批灯泡寿命的全体就是总体灯泡的寿命国产轿车每公里的耗油量所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体总体就是一个概率分布.由于每个个体的出现带有随机性，即相应的数量指标值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量或其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分布的符号来表示总体。如:研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.二、随机样本的定义1.样本的定义为推断总体的分布及各种特征,按一定的规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽样”.所抽取的部分个体称为样本.通常记为样本中所包含的个体数目n称为样本容量.(X1,X2,…,Xn)2.简单随机样本抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计推断,这就要求样本能很好的反映总体的特性,且便于处理.为此,需对抽样提出一些要求,通常有两条:满足上述两条性质的样本称为简单随机样本.1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体X有相同的分布.2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.1212(),,,,(),,,(())nn以、设是分布函数的随机变量若是具有同一分布函数相互独立的随机变量,则称为从总体或总体中抽取的容量为的简单随机样本,简称样本.XFxXXXFxXXXXFxn.,,,,21个独立的观察值的又称为称为样本值它们的观察值nXxxxn定义13.简单随机样本的分布).(),,,(),,2,1)((}{)3().(),,,(),()2().(),,,(),()1(.),,,(121**12112121niiniiniinniinnxpXXXixpxXPXxpXXXxpXxFXXXxFXXXXX的分布率为则样本的分布率为若总体的分布密度为则样本的分布密度为若总体的分布函数为则样本的分布函数为若总体的样本为来自总体设例1.),,,(,),,,(,)0(2121的概率密度求样本是来自总体的样本布的指数分服从参数为设总体nnXXXXXXX解的概率密度为总体X0,00,)(xxexpx,,,,,21有相同的分布且与相互独立因为XXXXn的概率密度为所以),,,(21nXXX)(),,,(121niinnxpxxxp其它,00,1ixnxenii例2.),,,(,),,,(,10),,1(2121的分布律求样本是来自总体的样本其中服从两点分布设总体nnXXXXXXppBX解的分布律为总体X,,,,21相互独立因为nXXXiippiXP1)1(}{)1,0(i,有相同的分布且与X的分布律为所以),,,(21nXXX},,,{2211nnxXxXxXP}{}{}{2211nnxXPxXPxXPniiniixnxpp11)1(.}1,0{,,,21中取值在集合其中nxxx三、统计量1.统计量的定义12121212,,,,(,,,),,,,,(,,,).nnnn若中不含未知参数设是来自总体的一个样本是的函数则称是一个统计量XXXXfXXXXfXXfXXX使用样本推断总体特征,需要对样本值进行“加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的函数,它把样本中所含的信息集中起来.例1?,,,,),(,,22321哪些不是些是统计量判断下列各式哪为未知为已知其中样本的一个是来自总体设NXXX,11XT,3212XeXXT),(313213XXXT),,,max(3214XXXT,2215XXT).(123222126XXXT是不是2.几个常用统计量(样本矩)的定义.,,,,,,,2121是这一样本的观察值是来自总体的一个样本设nnxxxXXX(1)样本平均值;11niiXnX(2)样本方差niinXXnS122)(1.1122niiXnXn.11niixnx其观察值它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息其观察值niinxxns122)(1.1122niixnxn(3)样本标准差;1122niinnXXnSS其观察值.)(112niinxxns(4)修正样本方差niinXXnS122*)(11.11122niiXnXn其观察值(5)样本k阶(原点)矩;,2,1,11kXnAnikik其观察值.,,,2111kxnanikik(6)样本k阶中心矩;,3,2,)(11kXXnBnikik其观察值.,3,2,)(11kxxnbnikikniinxxns122*)(11.11122niixnxn样本矩具有下列性质:.)()4(;)()3(;)()2(;)()1(:,),,,(,)(,)(22*21221212nnnnnnSESEXDXEXXXXXDXEX则有的样本为来自总体方差的期望设总体3.经验分布函数,,,,的一个样本是总体设XXXXn21),,,()()2()1(nXXX.),,,(的次序统计量的样本为总体nXXXX21称函数是任一实数设为其观测值,,),,()()()(xxxxn21.,1,,,,0)()()1()()1(nkknxxxxxnkxxxF四、常见分布12222212222,,,(0,1)~().nnnnnn＝设相互独立，同服从分布,则称统计量服从自由度为的分布,记为XXXNXXX分布2常用统计量的分布(一)常用统计量的分布(二)分布t).(~,/,,),(~),1,0(~2ntttnnYXtYXnYNX记为分布的服从自由度为则称随机变量独立且设常用统计量的分布(三)分布F).,(~,),(//,,),(~),(~2121212212nnFFFnnnVnUFVUnVnU记为分布的服从自由度为则称随机变量独立且设常用统计量的分布的分位点1分布的分位点2.)()(d)()}({,10,22)(222分位点分布的上为的点称满足条件对于给定的正数nnyyfnPn常用统计量的分布的分位点2.)()(d)()}({,10,)(分位点分布的上为的点称满足条件对于给定的ntnttthnttPnt分布的分位点t关于正态总体的样本和方差的定理定理一)./,(~,,),(,,,2221nNXXNXXXn则有是样本均值的样本是来自正态总体设定理二.SX(2)nSn(1),SX,NXXXnnnn独立与则有样本方差分别是样本均值和修正的样本是总体设2*222*2*221);1(~)1(,),(,,,关于正态总体的样本和方差的定理).1(~/,),(,,,*2*221ntnSX,SX,NXXXnnn则有样本方差分别是样本均值和修正样本的是总体设定理三关于正态总体的样本和方差的定理则有正方差分别是这两个样本的修值分别是这两个样本的均设且这两个样本互相独立的样本总体具有相同方差的两正态分别是与设,YYnSXXnS,YnYXnX,,N,NYYYXXXniiniiniinii21nn2121211222*21212*11211222121)(11,)(111,1),(),(,,,,,,定理四,(2));1,1(~//(1)222212122212*22*1时当nnFSS.,2)1()1(),2(~11)()(2212*222*112212121其中参数估计方法矩估计量估计量的评选最大似然估计量似然函数无偏性正态总体均值方差的置信区间与上下限有效性置信区间和上下限求置信区间的步骤相合性一、参数的点估计参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.估计废品率估计新生儿的平均体重估计湖中鱼数……估计平均降雨量参数估计问题的一般提法设有一个统计总体，总体的分布函数为F(x，)，其中为未知参数。在参数估计问题中，假定总体分布形式已，未知的仅仅是一个或几个参数.现从该总体中抽取样本().gX1,X2,…,Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数这类问题称为参数估计.1、点估计问题的提法设总体X的分布函数形式已知,但它的一个或多个参数为未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的问题称为点估计问题.1212ˆˆ(,,,),(,,,).nnXXXxxx点估计问题就是要构造一个适当的统计量用它的观察值来估计未知参数.),,,(ˆ21的估计量称为nXXX.),,,(ˆ21的估计值称为nxxx.ˆ,简记为通称估计例1,0,,150,,.X在某纺织厂细纱机上的断头次数是一个随机变量假设它服从以为参数的泊松分布参数为未知现检查了只纱锭在某一时间段内断头的次数数据如下试估计参数15011293260456543210knkk次的纱锭数断头断头次数.,,的估计值作为参数把的观察值再计算出先确定一个统计量xxXX解.133.1x.133.1的估计值为2、估计量的求法由于估计量是样本的函数,是随机变量,故对不同的样本值,得到的参数值往往不同,求估计量的问题是关键问题.估计量的求法:(两种)矩估计法和最大似然估计法.矩估计法其基本思想是用样本矩估计总体矩.它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.记总体k阶矩为)(kkXE样本k阶矩为;,2,1,11kXnAnikik用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,从而得出参数估计，这种估计法称为矩估计法.12,,,XnXXX设是来自总体的样本矩估计法的具体步骤:klXnAAnililll,,2,1;1,).2(1令.,,,21的方程组个未知参数这是一个包含kk,,,,).3(21k解出其中klXEkll,2,1),,,()().1(21求出.ˆ,,ˆ,ˆ表示用k21.,量这个估计量称为矩估计估计量的分别作为用方程组的解kk,,,ˆ,,ˆ,ˆ).4(2121)(P设总体X服从泊松分布求参数的估计量.nXXX,,21)(XEXXniin11ˆ解：设是总体X的一个样本,由于,可得例2例3.,,),,,(,,,],[21的矩估计量求的样本是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体baXXXXbabaXn解)(XE1,2ba)(22XE,41222baba2)]([)(XEXD,1211niiXnAba令2224)(12)(Ababa,112niiXn例3续)(1222121AAabAba即解方程组得到a,b的矩估计量分别为)(3ˆ2121AAAa,)(312niiXXnX)(3ˆ2121AAAb,)(312niiXXnX例4.,),,,(,)10(),,2,1()1(}{,211的矩估计量求的样本体